На вершине гладкой полусферы лежит небольшое тело массой \(M=1,49\) кг, в которое попадает пуля массой \(m=0,01\) кг, летящая горизонтально со скоростью \(v=140\) м/с, и застревает в нем. Радиус полусферы \(R=1,1~м\). Чему равна высота \(h\), на которой тело оторвется от поверхности полусферы? Смещением тела во время удара пренебречь. Какие законы Вы использовали в данной задаче? Обоснуйте их применение.

По закону сохранения импульса в проекциях на ось \(Ox\): \(mv_0=\left (m+M\right )v_1\Rightarrow v_1=\frac{mv_0}{m+M}\) В момент отрыва от поверхности полусферы \(N=0\). По второму закону Ньютона: \(Ox_1:~\left (m+M\right )g\cos \alpha=\left (m+M\right )a_ц\) Центростремительное ускорение: \(a_ц=\frac{v_2^2}{R}\) Объединим выражения: \(\frac{v_2}{R}=g\cos \alpha\) \(v_2^2=gR\cos \alpha\) По закону сохранения энергии: \(\left (m+M\right )gR+\frac{\left (m+M\right )v_1^2}{2}=\left (m+M\right )gh+\frac{\left (m+M\right )v_2^2}{2}\) \(gR+\frac{1}{2}\cdot \frac{m^2v_0^2}{\left (m+M\right )^2}=gh+\frac{gR\cos \alpha}{2}\) \(\cos \alpha=\frac{h}{R}\) Подставим \(\cos \alpha\): \(gR+\frac{m^2v_0^2}{2\left (m+M\right )^2}=gh+\frac{1}{2}\cdot gR\cdot \frac{h}{R}\) \(gR+\frac{m^2v_0^2}{2\left (m+M\right )^2}=\frac{3}{2}gh\) Искомая высота: \(h=\frac{2}{3g}\left (gR+\frac{m^2v_0^2}{2\left (m+M\right )^2}\right )\) Подставим числа: \(h=\frac{2}{3\cdot 10}\left (10\cdot 1,1+\frac{0,01^2\cdot 140^2}{2\left (0,01+1,49\right )^2}\right )\approx 0,762~м\) Ответ: 0,762 м Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Так как размер тел значительно меньше радиуса полусферы, используем для них модель материальной точки. 3) Так как по горизонтали на пулю и брусок не действуют никакие силы, распишем для них закон сохранения импульса в проекциях на ось \(Ox\). 4) Сила трения равна нулю и не совершает работы. Так как в процессе скольжения бруска с пулей по полусфере на них действует только одна непотенциальная сила – сила реакции опоры, которая не совершает работы, поскольку все время перпендикулярна скорости, используем закон сохранения энергии. 5) Распишем второй закон Ньютона для бруска с пулей в момент отрыва от полусферы. 6) При отрыве от полусферы реакция опоры равна нулю.

Невесомая нерастяжимая нить переброшена через идеальный блок, закрепленный на грузе массой \(M=2,4\) кг, как показано на рисунке. Один конец нити прикреплен к вертикальной плоскости, другой привязан к небольшому бруску массой \(m=0,8\) кг. Если к грузу приложить горизонтальную силу \(F\), то брусок движется с постоянным ускорением \(a=2,5\) м/с\(^2\). Чему равна сила \(F\), если вся нить расположена горизонтально и лежит в одной вертикальной плоскости, а тела двигаются вдоль одной прямой по гладкой поверхности? Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

\(|\vec{T}_1|=|\vec{T}'_1|=|\vec{T}_2|=T\) \(F_2=2T\) \(|\vec{F}_1|=|\vec{F}_2|=2T\) Соотношение путей, проходимых телами за единицу времени: \(S_2=2S_1;~S_1=\frac{a_1t^2}{2};~S_2=\frac{a_2t^2}{2};~\frac{a_2t^2}{2}=2\cdot \frac{a_1t^2}{2}\Rightarrow a_2=2a_1\) По второму закону Ньютона для тел в проекции на ось \(Ox\): \(Ox:~F-F_1=Ma_1;~F-2T=Ma_1\) \(Ox:~T=ma_2\) Объединим выражения: \(F-2ma_2=Ma_1\) \(F=2ma_2+Ma_1\) \(F=a_2\left (2m+\frac{M}{2}\right )=2,5\cdot \left (2\cdot 0,8+\frac{2,4}{2}\right )=7~Н\) Ответ: \(7~Н\) Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной (ИСО). 2) Т.к. груз и брусок движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) В ИСО для материальных точек распишем 2-й закон Ньютона. 4) Т.к. нить невесома, а блок идеален, модуль силы натяжения нити по всей ее длине – одинаковый: \(|\vec{T}_1|=|\vec{T}'_1|=|\vec{T}_2|=T\). 5) По 3-му закону Ньютона: \(|\vec{F}_1|=|\vec{F}_2|\). 6) Т.к. блок невесомый, распишем для него 2-й закона Ньютона, откуда получим, что \(F_2=2T\). 7) Т.к. нить нерастяжима, ускорения тел связаны соотношением \(a_2=2a_1\).

На рисунке приведен график зависимости проекции \(v_x\) скорости тела от времени \(t\). Определите проекцию \(a_x\) ускорения этого тела в интервале времени от \(5\) до \(10~\mathrm{с}\). Ответ дайте в \(\mathrm{м/с^2}\).

Проекция ускорения тела: \(a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}=\frac{-10-15}{5}=-5~\mathrm{м/с^2}\)

На материальную точку действуют две силы: \(\vec{F}_1\) и \(\vec{F}_2\), изображенные на рисунке. Определите модуль равнодействующей этих сил. Ответ дайте в Н.

Сумма сил в проекциях на вертикальную ось: \(F_y=2-2=0\) Модуль равнодействующей сил численно совпадает с суммой сил в проекциях на горизонтальную ось: \(F_x=\left (1+4\right )~\mathrm{кл}=5~\mathrm{кл}=5\cdot 5~\mathrm{Н}=25~\mathrm{Н}\)