Пловец, находящийся в бассейне на некоторой глубине, смотрит вверх и видит друга, стоящего на краю бассейна. Ступни друга находятся на уровне воды, а его голова видна пловцу под углом \(\varphi=25^\circ\) к вертикали. Чему равна глубина погружения пловца, если расстояние по горизонтали от глаз пловца до ступней друга \(4\) м, а его рост \(1,8\) м? Показатель преломления на границе раздела сред воздух – вода принять равным \(\frac{4}{3}\).

По закону Снеллиуса: \(\frac{\sin\alpha}{\sin\varphi}=n\Rightarrow\alpha =\arcsin \left (n\sin\varphi\right )=\arcsin\left (\frac{4}{3}\sin 25^\circ\right )=34,3^\circ\) \(tg=\frac{l_1}{h}\Rightarrow l_1=htg\alpha\) \(tg=\frac{l_2}{H}\Rightarrow l_2=Htg\varphi\) \(l=l_1+l_2=htg\alpha+Htg\varphi\Rightarrow H=\frac{l-htg\alpha}{tg\varphi}=\frac{4-1,8 tg 34,3^\circ}{tg 25^\circ}=5,94~м\) Ответ: 5,94 м

Однородный стержень \(AB\) с постоянным поперечным сечением закреплен верхним концом на шарнире, позволяющем ему свободно вращаться в плоскости рисунка без трения. Когда к нижнему концу стержня прикладывается постоянная горизонтальная сила \(\vec{F}\) в плоскости рисунка, стержень в равновесии образует угол \(\alpha\) с вертикалью \(\left (\mathrm{tg}\,\alpha=0,8\right )\). Масса стержня \(m=1~кг\). Определите модуль силы, с которой стержень действует на шарнир в состоянии равновесия. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

Условие равновесия стержня: \(Ox:~N_{x}=F\) \(Oy:~N_{y}=mg\) По теореме Пифагора: \(N=\sqrt{N_x^2+N_y^2}=\sqrt{F^2+\left (mg\right )^2}\) Рассмотрим вращение стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку \(A\): \(Fl\cos \alpha-mg\frac{l}{2}\sin \alpha=0\) Откуда сила \(F\): \(F=mg\cdot \frac{\mathrm{tg}\,\alpha}{2}\) \(F_{\mathrm{с}}=N,\) где \(F_{\mathrm{с}}\) – сила, с которой стержень действует на шарнир. Объединим выражения: \(F_{\mathrm{с}}=mg\sqrt{\frac{\mathrm{tg}^2\alpha}{4}+1}\) \(F_{\mathrm{c}}=10\cdot \sqrt{\frac{0,8^2}{4}+1}\approx 10,8~Н\) Ответ: 10,8 Н Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Так как формы и размеры стержня неизменны, применим для него модель абсолютного твердого тела. 3) Движение твердого тела представляет собой сумму поступательного и вращательного движений. Условия равновесия тела состоят в отсутствии этих движений. 4) Для отсутствия поступательного движения векторная сумма сил, действующих на стержень, должна быть равна нулю. 5) Для отсутствия вращательного движения сумма моментов сил, вращающих стержень по часовой и против часовой стрелки, должна быть равна нулю. 6) По третьему закону Ньютона сила, с которой стержень действует на шарнир, равна силе, с которой шарнир действует на стержень.

Шарик удерживается в жесткой изогнутой трубке, закрепленной на доске, на высоте \(H\). Доска находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). Система покоится. Как только шарик отпускают, он начинает двигаться без трения по трубке и вылетает из другого ее конца, находящегося на высоте \(h=1~\mathrm{м}\). Скорость шарика при вылете из трубки равна \(3~\mathrm{м/с}\) и направлена горизонтально. При этом доска движется поступательно со скоростью \(0,5~\mathrm{м/с}\) по поверхности стола. Чему равна высота \(H\)? Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

По закону сохранения импульса: \(Ox:~0=-mv_1+Mv_2\Rightarrow \frac{M}{m}=\frac{v_1}{v_2}\) По закону сохранения энергии: \(mgH=mgh+\frac{mv_1^2}{2}+\frac{Mv_2^2}{2}~|:m\) \(gH=gh+\frac{v_1^2}{2}+\frac{M}{m}\cdot \frac{v_2^2}{2}\) Объединим выражения: \(gH=gh+\frac{v_1^2}{2}+\frac{v_1}{v_2}\cdot \frac{v_2^2}{2}\) Искомая высота: \(H=h+\frac{1}{2g}\left (v_1^2+v_1v_2\right )\) Подставим числа: \(H=1+\frac{1}{2\cdot 10}\cdot \left (3^2+3\cdot 0,5\right )=1,525~\mathrm{м}\) Ответ: 1,525 м Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Так как размер шарика мал, а изогнутая трубка с доской движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) На систему тел “шарик + трубка с доской” не действуют внешние горизонтальные силы (трение отсутствует), значит, распишем закон сохранения импульса в проекциях на ось \(Ox\). 4) Работа внешних непотенциальных сил, действующих на систему тел “шарик + трубка с доской”, равна нулю, поскольку трения нет, а реакция опоры перпендикулярна перемещению и работы не совершает. Таким образом, можно расписать закон сохранения энергии.

Брусок массой \(0,25~\mathrm{кг}\) соскальзывает по гладкой наклонной плоскости с высоты \(0,2~\mathrm{м}\), после чего абсолютно неупруго сталкивается с покоящимся бруском массой \(0,15~\mathrm{кг}\). Определите скорость брусков сразу после их соударения.

По закону сохранения энергии: \(m_1gh=\frac{m_1v_1^2}{2}\) Скорость бруска \(m_1\) в момент перед столкновением с бруском \(m_2\): \(v_1=\sqrt{2gh}\) По закону сохранения импульса: \(Ox:~m_1v_1=\left (m_1+m_2\right )v_2\) Скорость брусков сразу после соударения: \(v_2=\frac{m_1\sqrt{2gh}}{m_1+m_2}\) Подставим числа: \(v_2=\frac{0,25\cdot \sqrt{2\cdot 10\cdot 0,2}}{0,25+0,15}=1,25~\mathrm{м/с}\) Ответ: \(1,25~\mathrm{м/с}\)

На пружине жесткостью \(150\) Н/м закреплен груз массой \(300\) г, совершающий гармонические колебания. Максимальное ускорение груза \(10~м/с^2\). Найдите амплитуду колебаний груза.

Период колебаний пружинного маятника: \(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) Циклическая частота: \(\omega =\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}=\sqrt{\frac{k}{m}}\) Амплитуда ускорения: \(a_m=x_m\omega^2\Rightarrow x_m=\frac{a_m}{\omega^2}=\frac{a_mm}{k}=\frac{10\cdot 0,3}{150}=0,02~м=2~см\) Ответ: \(2~см\)