В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения \(S=10~\mathrm{см^2}\), ограниченном сверху подвижным поршнем массой \(М=2~\mathrm{кг}\), находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте \(Н=20~\mathrm{см}\) от дна сосуда. Если на поршень положить груз, то он окажется на высоте \(h=15~\mathrm{см}\) от дна сосуда. Определите массу груза. Воздух считать идеальным газом, а его температуру – неизменной. Атмосферное давление принять равным \(10^5~\mathrm{Па}\). Трение между стенками сосуда и поршнем не учитывать.

Условие равновесия поршня в первом случае: \(Oy:~F_1-F_{\mathrm{атм}}-Mg=0;~F_1=p_1S;~F_{\mathrm{атм}}=p_0S\) \(p_1S-p_0S-Mg=0\Rightarrow p_1=p_0+\frac{Mg}{S}\) Во втором случае: \(F_2-F_{\mathrm{атм}}-\left (M+m\right )g=0;~F_2=p_2S\) \(p_2S-p_0S-\left (M+m\right )g=0\Rightarrow p_2=p_0+\frac{M+m}{S}g\) По условию задачи: \(T-const \Rightarrow p_1V_1=p_2V_2;~V_1=SH;~V_2=Sh\) Объединим выражения: \(\left (p_0+\frac{Mg}{S}\right )SH=\left (p_0+\frac{M+m}{S}g\right )Sh\) \(p_0SH+MgH=p_0Sh+Mgh+mgh\) \(mgh=p_0S\left (H-h\right )+Mg\left (H-h\right )\) Масса груза: \(m=\frac{\left (H-h\right )\left (p_0S+Mg\right )}{gh}=\frac{\left (0,2-0,15\right )\left (10^5\cdot 10\cdot 10^{-4}+2\cdot 10\right )}{10\cdot 0,15}=4~\mathrm{кг}\) Ответ: 4 кг

Незаряженный конденсатор емкостью \(C=1~\mathrm{мкФ}\) подключают к источнику тока по схеме, показанной на рисунке. Сопротивление резистора \(R=200~\mathrm{Ом}\), сопротивлением проводов и внутренним сопротивлением источника можно пренебречь. После замыкания ключа \(K\) на резисторе выделяется количество теплоты, равное \(12,5~\mathrm{мкДж}\). Чему равна ЭДС источника?

Начальная энергия конденсатора равна нулю, так как он разряжен: \(W_1=0\) Начальный заряд конденсатора: \(q_1=0\) Конечная энергия конденсатора: \(W_2=\frac{CU^2}{2}\) Так как после зарядки конденсатора ток по цепи не течет: \(\varepsilon=U\Rightarrow W_2=\frac{C\varepsilon^2}{2}\) Конечный заряд конденсатора: \(q_2=C\varepsilon\) Изменение заряда конденсатора: \(\Delta q=q_2-q_1=C\varepsilon-0=C\varepsilon\) Работа источника: \(A_{\mathrm{ист}}=\varepsilon \Delta q\) По закону сохранения энергии: \(A_{\mathrm{ист}}+W_1=W_2+Q\) \(\varepsilon \cdot C\varepsilon+0=\frac{C\varepsilon^2}{2}+Q\) \(Q=\frac{C\varepsilon^2}{2}\Rightarrow \varepsilon=\sqrt{\frac{2Q}{C}}\) ЭДС источника: \(\varepsilon=\sqrt{\frac{2\cdot 12,5\cdot 10^{-6}}{10^{-6}}}=5~\mathrm{В}\) Ответ: \(5~\mathrm{В}\)

На нерастяжимой и невесомой нити, перекинутой через идеальный блок, висят два одинаковых бруска массой \(m=0,5~\mathrm{кг}\). На один из брусков кладут груз \(m_0\), и система приходит в движение. Найдите массу груза, если сила, с которой он давит на брусок, равна \(2~\mathrm{Н}\). Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

\(\left |\vec{a}_1\right |=\left |\vec{a}_2\right |=a~(1)\) \(\left |\vec{T}_1\right |=\left |\vec{T}_2\right |=T~(2)\) \(N=F_{\mathrm{д}}\) По второму закону Ньютона отдельно для груза: \(Oy:~N-m_0g=-m_0a\) Для левого бруска: \(Oy:~T-mg=ma\Rightarrow T=mg+ma\) Для системы тел “брусок + груз”: \(Oy:~T-\left (m+m_0\right )g=-\left (m+m_0\right )a\) Подставим силу натяжения нити: \(mg+ma-mg-m_0g=-ma-m_0a\) \(2ma+m_0a=m_0g\) Ускорение движения тел: \(a=\frac{m_0g}{2m+m_0}\) Подставим ускорение в выражение, записанное отдельно для груза: \(N-m_0g=-m_0\cdot \frac{m_0g}{2m+m_0}\) \(N\cdot \left (2m+m_0\right )-m_0g\left (2m+m_0\right )=-m_0^2g\) \(2mN+Nm_0-2m_0mg-m_0^2g=-m_0^2g\) \(2mN=m_0\left (2mg-N\right )\) Масса груза: \(m_0=\frac{2mN}{2mg-N}=\frac{2\cdot 0,5\cdot 2}{2\cdot 0,5\cdot 10-2}=0,25~\mathrm{кг}\) Ответ: \(0,25~\mathrm{кг}\) Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Так как тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) Распишем для левого бруска, груза и для системы тел “брусок + груз” второй закон Ньютона. 4) По третьему закону Ньютона модули сил \(\vec{N}\) и \(\vec{F}_{\mathrm{д}}\) равны. 5) Так как нить нерастяжима, то \((1)\). 6) Так как нить невесома, а блок идеален, то \((2)\).

К краям невесомого рычага на нерастяжимых и невесомых нитях подвешены шарики одинакового объема \(200~\mathrm{см^3}\). Рычаг находится в равновесии. Если шарики полностью поместить в воду, ось вращения рычага сместится на \(10~\mathrm{см}\). Масса первого шарика равна \(0,32~\mathrm{кг}\). Найдите массу второго шарика большей массы, если, находясь в воздухе, он находится на расстоянии \(20~\mathrm{см}\) от оси вращения. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Плотность шарика \(m_1\): \(\rho_1=\frac{m_1}{V}=\frac{0,32}{200\cdot 10^{-6}}=1600~\mathrm{кг/м^3}\) \(m_2>m_1\Rightarrow \rho_2=\frac{m_2}{V}>\rho_{\mathrm{в}}\) Таким образом, шарики будут тонуть в воде. Так как объемы шариков одинаковы: \(F_{\mathrm{А1}}=F_{\mathrm{А2}}=F_{\mathrm{А}}\) \(m_1gd_1=m_2gd_2\Rightarrow \frac{d_1}{d_2}=\frac{m_2}{m_1}\) \(\left (m_1g-F_{\mathrm{А}}\right )d’_1=\left (m_2g-F_{\mathrm{А}}\right )d’_2\Rightarrow \frac{d’_1}{d’_2}=\frac{m_2g-F_{\mathrm{А}}}{m_1g-F_{\mathrm{А}}}\) Предположим, что ось вращения рычага при погружении шариков в воду сместилась вправо. Тогда должно выполняться неравенство: \(\frac{d’_1}{d’_2}=\frac{m_2g-F_{\mathrm{А}}}{m_1g-F_{\mathrm{А}}}>\frac{m_2}{m_1}=\frac{d_1}{d_2}\) \(\left (m_2g-F_{\mathrm{А}}\right )m_1>m_2\left (m_1g-F_{\mathrm{А}}\right )\) \(m_2m_1g-F_{\mathrm{А}}m_1>m_2m_1g-F_{\mathrm{А}}m_2\) \(F_{\mathrm{А}}m_2>F_{\mathrm{А}}m_1\) \(m_2>m_1\Rightarrow \frac{d’_1}{d’_2}>\frac{d_1}{d_2}\) Неравенство выполняется, значит, направление смещения оси вращения рычага было выбрано верно. Сила Архимеда: \(F_{\mathrm{А}}=\rho_{\mathrm{в}}gV=1000\cdot 10\cdot 200\cdot 10^{-6}=2~\mathrm{Н}\) Запишем правило моментов сил для каждого из случаев: \(m_1g\cdot \left (l-x_0\right )=m_2g\cdot x_0\Rightarrow l=\frac{x_0\left (m_2+m_1\right )}{m_1}\) \(\left (m_1g-F_{\mathrm{А}}\right )\cdot \left (l-x_0+b\right )=\left (m_2g-F_{\mathrm{А}}\right )\cdot b\) \(\left (m_1g-F_{\mathrm{А}}\right )\cdot \left (\frac{m_2+m_1}{m_1}x_0-x_0+b\right )=\left (m_2g-F_{\mathrm{А}}\right )b~|\cdot m_1\) \(\left (m_1g-F_{\mathrm{А}}\right )\left (m_2x_0+m_1x_0-m_1x_0+bm_1\right )=m_1m_2gb-m_1F_{\mathrm{А}}b\) \(m_1m_2gx_0+m_1^2gb=F_{\mathrm{А}}m_2x_0-F_{\mathrm{А}}bm_1=m_1m_2gb-m_1F_{\mathrm{А}}b\) \(m_2\left (m_1gx_0-F_{\mathrm{А}}x_0-m_1gb\right )=-m_1^2gb+F_{\mathrm{А}}bm_1-m_1F_{\mathrm{А}}b\) Масса второго шарика: \(m_2=\frac{m_1^2gb}{m_1gx_0-F_{\mathrm{А}}x_0-m_1gb}=\frac{-0,32^2\cdot 10\cdot 0,1}{0,32\cdot 10\cdot 0,2-2\cdot 0,2-0,32\cdot 10\cdot 0,1}=1,28~\mathrm{кг}\) Ответ: 1,28 кг Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Для стержня и шариков используем модель твердого тела (так как нити нерастяжимы). 3) Тело находится в равновесии, значит, отсутствует вращательное движение. Распишем правило моментов сил относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точки \(O_1\) и \(O_2\).

Небольшой брусок массой \(m=150\) г, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, абсолютно неупруго сталкивается с неподвижным телом массой \(М=3m\). При дальнейшем поступательном движении тела налетают на недеформированную пружину, одним концом прикрепленную к стене (см. рисунок). После абсолютно неупругого удара бруски возвращаются в точку столкновения через время \(t=0,7\) с. Скорость движения бруска до столкновения \(v=2\) м/с, а расстояние от точки столкновения до пружины \(L=10\) см. Чему равна жесткость пружины? Какие законы Вы использовали в данной задаче? Обоснуйте их применение.

По закону сохранения импульса в проекциях на ось \(Ox\): \(mv_0=\left (m+M\right )v_1\) \(v_1=\frac{mv_0}{m+M}=\frac{m\cdot 2}{m+3m}=0,5~м/с\) Время движения бруска до столкновения с телом: \(t_1=\frac{L}{v_1}=\frac{0,1}{0,5}=0,2~с\) Период колебаний пружинного маятника: \(T=2\pi \sqrt{\frac{m+M}{k}}\) После начала взаимодействия с пружиной тела вновь вернутся в положение равновесия спустя время: \(t_2=\frac{T}{2}=\pi \sqrt{\frac{m+M}{k}}\) При движении брусков от положения равновесия до места столкновения пройдет время: \(t_3=t_1=0,2~с\) Общее время движения тел: \(t=t_1+t_2+t_3=2t_1+\pi \sqrt{\frac{m+M}{k}}\) \(\pi \sqrt{\frac{m+M}{k}}=t-2t_1\) \(\pi^2\cdot \frac{m+M}{k}=\left (t-2t_1\right )^2\) Жесткость пружины: \(k=\frac{\pi^2\left (m+M\right )}{\left (t-2t_1\right )^2}=\frac{3,14^2\cdot \left (0,15+3\cdot 0,15\right )}{\left (0,7-2\cdot 0,2\right )^2}=65,7~Н/м\) Ответ: 65,7 Н/м Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Так как тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) Так как по горизонтали на тело и брусок не действуют никакие силы, распишем для них закон сохранения импульса в проекциях на ось \(Ox\). 4) Так как изначально пружина была нерастянута, то от момента соприкосновения тел с ней до момента отскока тел от пружины в противоположном направлении пройдет половина периода колебаний.