На горизонтальной шероховатой поверхности стола с коэффициентом трения \(\mu=0,6\) лежит брусок массой \(M=3\) кг. К нему с помощью невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок, прикреплен груз массой \(m=1,5\) кг. Изначально система покоится. К бруску под углом \(\alpha=30^\circ\) относительно поверхности стола прикладывают силу \(F=32\) Н, под действием которой брусок с грузом приходят в движение. Скорость груза к моменту, когда он поднимется до края стола, равна \(0,8\) м/с. Определите расстояние \(L\), на котором находился груз от края стола. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

\(|\vec{a}_1|=|\vec{a}_2|=a~(*)\) \(|\vec{T}_1|=|\vec{T}_2|=T~(**)\) По второму закону Ньютона для тел в проекциях на оси: \(Oy:~T-mg=ma\Rightarrow T=mg+ma~(1)\) \(Oy:~N-Mg+F\sin \alpha=0\Rightarrow N=Mg-F\sin \alpha ~(2)\) \(Ox:~F\cos \alpha-F_{тр}-T=Ma~(3)\) Сила трения: \(F_{тр}=\mu N~(4)\) Объединим выражения \((1)\)-\((4)\): \(F\cos \alpha-\mu Mg+\mu F\sin \alpha-mg=ma+Ma\) \(a(m+M)=F(\cos \alpha+\mu \sin \alpha)-\mu Mg-mg\) Ускорение груза: \(a=\frac{F(\cos \alpha+\mu \sin \alpha)-\mu Mg-mg}{m+M}=\frac{32(\cos 30^\circ+0,6\sin 30^\circ)-0,6\cdot 3\cdot 10-1,5\cdot 10}{1,5+3}=0,958~м/с^2\) Проекция перемещения: \(S_y=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{2a_y}\Rightarrow L=\frac{v^2-0^2}{2a}=\frac{0,8^2}{2\cdot 0,958}=0,334~м\) Ответ: 0,334 м Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной (ИСО). 2) Т.к. оба тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) Распишем в ИСО для материальных точек 2-й закон Ньютона. 4) Т.к. нить нерастяжима, ускорения 1-го и 2-го тел будут одинаковыми по модулю (*). 5) Т.к. нить невесома, а блок идеален, силы натяжения нити, действующие на первое и второе тела будут одинаковы по модулю (**).

Невесомый стержень \(AB\) с двумя малыми грузами массами \(m_1=200\) г и \(m_2=100\) г, расположенными в точках \(C\) и \(B\) соответственно, шарнирно закреплен в точке \(A\). Груз массой \(M=100\) г подвешен к невесомому блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединен с нижним концом стержня, как показано на рисунке. Вся система находится в равновесии: если стержень отклонен от вертикали на угол \(\alpha = 30^{\circ}\), а нить составляет угол с вертикалью, равный \(\beta=30^{\circ}\). Расстояние \(AC=b=25\) см. Определите длину \(l\) стержня \(AB\). Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз \(M\) и стержень. Какие законы Вы использовали в данной задаче? Обоснуйте их применение.

Найдем плечи сил, действующих на стержень, а также их моменты. \(\sin \alpha=\frac{d_1}{AC}\Rightarrow d_1=AC\sin \alpha\) \(\sin \alpha=\frac{d_2}{AB}\Rightarrow d_2=AB\sin \alpha\) \(M_1=m_1gd_1=m_1g\cdot AC\sin \alpha\) \(M_2=m_2gd_2=m_2g\cdot AB\sin \alpha\) \(\sin \left ( \alpha+\beta \right )=\frac{d_3}{AB}\Rightarrow d_3=AB\sin \left (\alpha+\beta \right )\) \(M_3=T\cdot AB\sin \left (\alpha+\beta \right )\) Рассмотрим вращение стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку \(A\): \(M_1+M_2=M_3\) \(m_1g\cdot AC\sin \alpha+m_2g\cdot AB\sin \alpha=T\cdot AB\sin \left (\alpha+\beta \right )\) По второму закону Ньютона для груза \(M\): \(T-Mg=0\Rightarrow T=Mg\) \(m_1g\cdot AC\sin \alpha+m_2g\cdot AB\sin \alpha=Mg\cdot AB\sin \left (\alpha+\beta \right )\) \(AB\left (M\sin \left (\alpha+\beta \right )-m_2\sin \alpha \right )=m_1\cdot AC\sin \alpha\) Искомое расстояние: \(AB=\frac{m_1\cdot AC\sin \alpha}{M\sin \left (\alpha+\beta \right )-m_2\sin \alpha}\) \(AB=\frac{0,2\cdot 25~см\cdot \sin 30^\circ}{0,1\cdot \sin \left (30^\circ+30^\circ\right )-0,1\cdot \sin 30^\circ}\approx 68,3~см\) Ответ: 68,3 см Обоснование: 1) Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчета инерциальной (ИСО). 2) Тело \(M\) покоится, следовательно, запишем условия равновесия. 3) Стержень \(AB\) – твердое тело, следовательно, распишем правило моментов сил относительно точки \(A\). 4) Нить невесома, блок идеален (масса блока пренебрежимо мала, трения нет), поэтому модуль силы натяжения нити в любой ее точке один и тот же. 5) Стержень невесомый, поэтому в решении не учитываем его массу.

В гладкий высокий стакан радиусом 4 см поставили тонкую однородную палочку длиной 10 см и массой 1,8 г. До какой высоты ℎ налита в стакан жидкость, если ее плотность составляет 0,75 плотности материала палочки, а сила, с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана, равна 0,008 Н? Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

\(\rho_т=\frac{m}{V}, V=Sl\Rightarrow m=\rho_тSl\) Запишем правило моментов: \(mg\cdot 4~см=F_A\frac{l_{погр}}{2l}\cdot 8~см+F\cdot 6~см\\ \rho_тSlg\cdot 4=g\rho_жSl_{погр}\frac{l_{погр}}{2l}\cdot 8+F\cdot 6\\ \frac{h}{H}\Rightarrow l_{погр}=\frac{lh}{H}\\ 4mg=g\rho_жSl_{погр}\frac{h}{H}\cdot 4+6F\\ 4mg=0,75\rho_тSlg\frac{h}{H}\cdot\frac{h}{H}\cdot 4+6F\\ 4mg=0,75mg\frac{h^2}{H^2}\cdot 4+6F\\ h=H\sqrt{\frac{4mg-6F}{3mg}}=6 см\sqrt{\frac{4\cdot 1,8\cdot 10^{-3}-6\cdot 8\cdot 10^{-3}}{3\cdot 1,8\cdot 10^{-3}\cdot 10}}=4~см\) Ответ: 4 см Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей, будем считать ее инерциальной (ИСО). 2) Так как палочка неподвижна, применим к ней модель материальной точки. 3) В инерциальной системе отсчета для материальной точки используем второй и третий законы Ньютона. 4) На тело, погруженное в жидкость, по закону Архимеда действует сила \(F_A=\rho_жgV_{погр}\). 5) Так как палочка – абсолютно твердое тело, то в ИСО запишем правило моментов относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку \(O\).

На рисунке представлена система, состоящая из двух легких блоков, трение в осях которых пренебрежимо мало, и невесомых нерастяжимых нитей. К свободному концу нити, охватывающей подвижный и неподвижный блоки, подвесили брусок массой 𝑚=40 кг, а к подвижному блоку – брусок массой 𝑀=60 кг. В момент начала наблюдения бруски удерживали в состоянии покоя, при этом они находились на одном уровне. Затем их отпустили, и бруски начали двигаться с ускорением. Найдите ускорение бруска 𝑚. Какие законы вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применимость.

\(|\vec{T_1}|=|\vec{T'_1}|=|\vec{T''1}|=T_1\\ |\vec{T_2}|=|\vec{T'_2}|=\vec{T_2}\) Т.к. блок невесомый, то: \(2T_1-T_2=0\Rightarrow T_2=2T_1\) Предположим, что тело массой \(m\) движется вниз, а тело массой \(M\) - вверх. Перемещения грузов: \(x_2=\frac{x_1}{2}; x_1=\frac{a_1t^2}{2}; x_2=\frac{a_2t^2}{2}\\ \frac{a_2t^2}{2}=\frac{a_1t^2}{4}\Rightarrow a_2=\frac{a_1}{2}\) По 2 закону Ньютона в проекции на вертикальную ось для грузов массами \(m\) и \(M\) соответственно: \(T_1-mg=-ma_1\Rightarrow T_1=mg-ma_1\\ T_2-Mg=Ma_2\Rightarrow M\frac{a_1}{2}+Mg\\ T_2=2T_1\Rightarrow M\frac{a_1}{2}+Mg=2mg-2ma_1\\ a_1(\frac{M}{2}+2m)=g(2m-M)\\ a_1=\frac{g(2m-M)}{\frac{M}{2}+2m}=\frac{10(2\cdot 40-60)}{\frac{60}{2}+2\cdot 40}=1,82~м/с^2\) Ответ: 1,82 м/с\(^2\) Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчёта, связанную с Землёй. Будем считать её инерциальной (ИСО). 2) Т.к. тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) В ИСО для материальных точек для обоих тел распишем второй закон Ньютона. 4) Т.к. нити невесомы, а блоки идеальны, то модуль натяжения для каждой из нитей будет одинаковым. 5) Так как подвижный блок невесомый, то \(T_2=2T_1\). 6) Т.к. нити нерастяжимы, то модуль ускорения тел будет связан формулой \(a_1=2a_2\).

Пуля массой 𝑚, летящая со скоростью 𝑣=600 м/с вверх вдоль наклонной плоскости, установленной под углом 𝛼=30∘ к горизонту, попадает в брусок массой 𝑀=400 г и застревает в нем. Брусок в момент перед ударом обладает некоторой скоростью, которую он приобрел в ходе прохождения по гладкой наклонной плоскости навстречу пуле расстояния 𝑥=2,5 м, при этом свое движение брусок начинал из состояния покоя. После того как пуля попала в брусок, тела поднялись вверх вдоль наклонной плоскости на расстояние 𝑠=1,6 м от места удара. Чему равна масса пули 𝑚? Какие законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применимость.

По закону сохранения энергии для бруска до попадания в него пули: \(Mgh_1=\frac{Mv_1^2}{2},\) где \(h_1=x_1\sin\alpha\Rightarrow v_1^2=2gx_1\sin\alpha\) По закону сохранения энергии для бруска и застрявшей в нем пули: \((M+m)gh_2=\frac{(M+m)v_2^2}{2},\) где \(h_2=S\sin\alpha\Rightarrow v_2^2=2gS\sin\alpha\) По закону сохранения импульса в проекции на \(ox\): \(Mv_1-mv_п=-(m+M)v_2\\ M\sqrt{2gx_1\sin\alpha}+M\sqrt{2gS\sin\alpha}=m(v_п-\sqrt{2gS\sin\alpha})\\ m=\frac{M\sqrt{2g\sin\alpha}(\sqrt{x_1}+\sqrt{S})}{v_п-\sqrt{2gS\sin\alpha}}=\frac{0,4\sqrt{2\cdot 10\cdot\sin 30^\circ}(\sqrt{2,5}+\sqrt{1,6})}{600-\sqrt{2\cdot 10\cdot 1,6\cdot\sin 30^\circ)}}=6,04~г\) Ответ: 6,04 г Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчёта, связанную с Землёй. Будем считать её инерциальной (ИСО). 2) Т.к. тела движутся поступательно, используем модель материальной точки. 3) Т.к. реакция опоры перпендикулярна перемещению, то она не совершает работы. Сила трения равна \(0\), тогда до попадания пули после попадания можем расписать закон сохранения энергии. 4) Так как при попадании пули, за малый промежуток времени импульс бруска и пули поменялся на конечную величину, значит внутренние силы между ними принимали большое значении, намного большее, чем проекция силы тяжести на ось \(x\). Тогда, воспользуемся законом сохранения импульса в проекцию на ось \(x\).