На гладком горизонтальном столе лежит доска массой 𝑀=4 кг, на которой лежит дощечка массой 𝑚1=2 кг и брусок массой 𝑚2=1 кг. Тела соединены нитями, перекинутыми через блоки, согласно рисунку. Под действием силы 𝐹⃗=20 Н, направленной горизонтально влево, система приходит в движение. Коэффициенты трения 𝜇1 и 𝜇2 между дощечкой и доской и между бруском и дощечкой равны 0,2 и 0,25 соответственно (см. рисунок). Определите, с каким ускорением относительно поверхности двигался брусок массой 𝑚2. Нити нерастяжимы и невесомы, блоки идеальны и невесомы. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применимость в данном случае.

По III закону Ньютона: \(|\vec{N_2}|=|\vec{P_2}|\\ |\vec{N_1}|=|\vec{P_1}|\\ |\vec{F_{тр1}'}|=|\vec{F_{тр1}}|=F_{тр1}\\ |\vec{F_{тр2}'}|=|\vec{F_{тр2}}|=F_{тр2}\) Нити нерастяжимы \(\Rightarrow |\vec{a_1}|=|\vec{a_2}|=|\vec{a}|=a\) По II закону Ньютона: \(oy\): \(N_2-m_2g=0\Rightarrow N_2=m_2g\Rightarrow P_2=N_2=m_2g\Rightarrow F_{тр2}=\mu_2N_2=\mu_2m_2g\) \(oy\): \(N_1=m_1g-P_2=0\Rightarrow N_1=m_1g+P_2=m_1g+m_2g\Rightarrow F_{тр1}=\mu_1N_1=\mu_1(m_1g+m_2g)\) \(ox\): \(T_2-F_{тр2}=m_2a\Rightarrow T_2=\mu_2m_2g+m_2a(2)\) \(ox\): \(-T_1+T_2+F_{тр2}+F_{тр1}=-ma_1(3)\) \(ox\): \(F-F_{тр1}=Ma\Rightarrow T_1=F-\mu (m_1g+m_2g)-Ma(4)\) Подставим (2) и (4) в (3): \(-(F-\mu (m_1g+m_2g)-Ma)+\mu_2m_2g+m_2a+\mu_2m_1g+\mu_1(m_1g+m_2g)=-m_1a_1\\ a(M+m_2+m_1)=F-\mu_1(m_1g+m_2g)-\mu_2m_2g-\mu_2m_2g-\mu_1(m_1g+m_2g)\\ a(M+m_2+m_1)=F-2\mu_1g(m_1+m_2)-2\mu_2m_2g\\ a=\frac{F-2\mu_1g(m_1+m_2)-2\mu_2m_2g}{M+m_2+m_1}=\frac{20-2\cdot 0,2\cdot 10(2+1)-2\cdot 0,25\cdot 1\cdot 10}{4+2+1}=0,429~м/с^2\) Ответ: 0,429 м/с\(^2\) Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчёта, связанную с Землей. Будем считать её инерциальной (ИСО). 2) Т.к. тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) Для материальных точек в ИСО используем 2-ой и 3-й законы Ньютона. 4) Т.к. нити нерастяжимы, то ускорения тел будут одинаковы по модулю. 5) Т.к. нити невесомы, а блоки идеальны, то модуль силы натяжения в любой точке будет одинаковым. https://youtu.be/PI0jOS050rs

В небольшую шайбу массой 𝑀=992 г, помещенную на вершину идеально гладкой металлической полусферы, попадает пуля массой 𝑚=8 г, летящая с горизонтальной скоростью 𝑣=200 м/с. Известно, что после удара пули о шайбу она застревает в ней, а шайба отрывается от поверхности полусферы на высоте ℎ=0,8 м, если пренебречь ее смещением во время удара. Определите радиус полусферы. Сопротивлением воздуха также пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

По закону сохранения импульса в проекции на \(ox\): \(mv=(m+M)v_1\\ v_1=\frac{mv}{m+M}\) При отрыве от полусфер \(N=0\), но тело все еще движется по окружности Центростремительное ускорение: \(a_ц=\frac{v_2^2}{R}\) По 2 закону Ньютона в проекции на \(oy\): \((m+M)a_ц=(m+M)g\cos\alpha\Rightarrow a_ц=\frac{v_2^2}{R}=g\cos\alpha\Rightarrow v_2^2=gR\cos\alpha ,\) где \(\cos\alpha=\frac{h}{R}\), тогда: \(v_2^2=gR\cdot\frac{h}{R}=gh\) По закону сохранения энергии: \(\frac{(m+M)v_1^2}{2}+(m+M)gR=(m+M)gh+\frac{(m+M)v_2^2}{2}\\ gR+\frac{m^2v^2}{2(m+M)^2}=gh+\frac{gh}{2}\Rightarrow R=\frac{3}{2}h-\frac{m^2v^2}{2g(m+M)^2}=\frac{3}{2}\cdot 0,8-\frac{8^2\cdot 200^2}{2\cdot 10\cdot (992+8)^2}=1,072~м\) Ответ: 1,072 м Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с землей. Будем считать ее инерциальной (ИСО). 2) Т.к. размер бруска и пули значительно меньше радиуса полусферы, то применим для них модель материальной точки. 3) Во время попадания пули в брусок по оси \(x\) на них не действуют силы (сила трения равна 0 по условию). Значит используем закон сохранения импульса в проекции на ось \(x\). 4) Т. к. горка гладкая, а реакция опоры перпендикулярна мгновенной скорости и работы не совершает, то выполняется закон сохранения энергии. 5) В точке отрыва реакция опоры должна равняться нулю, но при этом тело еще движется по окружности. 6) В точке отрыва распишем 2 закон Ньютона.

На рисунке ниже изображена система, в которой масса груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости, 𝑀=3 кг. Коэффициент трения между грузом и плоскостью 𝜇=0,3. Груз движется с ускорением 𝑎1, направленным горизонтально влево. Найдите ускорение подвешенного кубика 𝑎2, масса которого 𝑚=0,75 кг. Нити нерастяжимы и невесомы, блоки идеальны и невесомы. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применимость в данном случае.

Т.к нить невесома и блок идеален по III закону Ньютона: \(|\vec{T_2}|=|\vec{T'_2}|=T_2\\ |\vec{T_1}|=|\vec{T'_1}|=T_1(***)\) По II закону Ньютона: \(T_1-2T_2=0\Rightarrow T_1=2T_2(*)\) \(x_2=2x_1\), учитывая, что \(x=\frac{at^2}{2}\), получаем: \(a_1=\frac{a_2}{2}(**)\) По II закону Ньютона: \(oy\): \(N-Mg=0\Rightarrow N=Mg\) Сила трения определяется по формуле: \(F_{тр}=\mu N=\mu Mg\) По II закону Ньютона: \(ox\): \(T_1-F_{тр}=Ma_1\Rightarrow T1=\mu Mg+Ma_1\) \(oy\): \(T_2-mg=-ma_2\Rightarrow T_2=mg-ma_2\) Подставим полученные выражения в (*): \(\mu Mg+Ma_1=2(mg-ma_2)\\ \mu Mg+M\frac{a_2}{2}=2mg-2ma_2\\ a_2(\frac{M}{2}+2m)=2mg-\mu Mg\Rightarrow a_2=g\frac{2m-\mu M}{\frac{M}{2}+2m}\) Подставим значения: \(a=10\frac{2\cdot 0,75-0,3\cdot 3}{\frac{3}{2}+2\cdot 0,75}=2~м/с^2\) Ответ: 2 м/с\(^2\) Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчёта, связанную с Землей. Будем считать её инерциальной (ИСО). 2) Т.к. тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) Для материальных точек в ИСО используем 2-ой закон Ньютона. 4) Т.к. нити нерастяжимы, то ускорения тел будут связаны соотношением (**). 5) Т.к. нити невесомы, а блоки идеальны, то силы натяжения нитей связаны соотношением (*) и для каждой из нитей модуль силы натяжения в любой точке будет одинаковым (***). https://youtu.be/zLTjnH9wFTE

На нерастяжимой и невесомой нити, перекинутой через идеальный блок, висят два одинаковых бруска массой \(m=0,3\) кг. На один из брусков кладут груз \(m_0\), и система приходит в движение. Найдите массу груза, если сила, с которой он давит на брусок, равна \(1,2\) Н. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

Сначала рассмотрим груз и брусок, находящиеся справа, как единое целое. Запишем для них второй закон Ньютона: \(T-mg=ma\Rightarrow T=mg+ma\) \(T-\left(m+m_0\right)g=-\left(m+m_0\right)a\) \(mg+ma-\left(m+m_0\right)g=-\left(m+m_0\right)a\Rightarrow a=\frac{m_0 g}{2 m+m_0}\) Теперь рассмотрим тела отдельно друг от друга: \(N-m_0g=-m_0a\) \(P-m_0g=-m_0\cdot \frac{m_0g}{2m+m_0}\) \(1,2-10m_0=-m_0\cdot \frac{m_0\cdot 10}{2\cdot 0,3+m_0}\) \(10m_0+1,2\cdot 0,6+1,2m_0-6m_0-10m_0^2=0\) Масса груза: \(m_0=0,15~кг\) Ответ: 0,15 кг Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Так как тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) В инерциальной системе отсчета для материальных точек используем второй закон Ньютона. 4) Так как нить нерастяжима, то ускорения брусков одинаковы по модулю. 5) Так как нить невесома, а блок идеален, то модули сил натяжения нити одинаковы по модулю. 6) Используем третий закон Ньютона: \(\vec{N}=-\vec{P}\).

Через идеальный блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, причем к одному концу нити подвешен стержень массой \(M=1,8\) кг, а к другому привязан брусок массой \(m_1=4\) кг, находящийся на горизонтальной поверхности (см. рисунок). С высоты \(H=0,4\) м на стержень падает пластилиновый шар массой \(m_2=1,2\) кг. Определите максимальную высоту, на которую поднимется брусок после удара шара о стержень. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи. 10397

Т. к. \(m_1>M\), то изначально система покоится. По закону сохранения энергии: \(mgH=\frac{mv_0^2}{2}\Rightarrow v_0=\sqrt{2gH}\) Импульс силы для шара: \(Tt-m_2gt=-(m_2+M)v_1-(-m_2v_0)\) Импульс силы для бруска: \(Tt-m_1gt=m_1v_1\) Т. к. время взаимодействия мало, то в момент удара \(m_1g\) и \(m_2g\) пренебрегаем, тогда: \(Tt=m_2v_0-(m_2+M)v_1\\ Tt=m_1v_1\\ m_1v_1=m_2v_0-(m_2+M)v_1\\ v_1(m_1+m_2+M)=m_2v_0\Rightarrow v_1=\frac{m_2v_0}{m_1+m_2+M}- скорость~тел~после~удара\) По 2 закону Ньютона для левой и правой части системы соответственно: \(-(M+m_2)g+T=(m_2+M)a\\ -m_1g+T=-m_1a\Rightarrow T=m_1(g-a),\) откуда: \(-(M+m_2)g+m_1(g-a)=(m_2+M)a\Rightarrow a=\frac{g(m_1-M-m_2)}{m_2+M+m_1}\) Перемещение бруска по оси \(y\): \(S_y=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{2a_y}\\ h=\frac{0-v_1^2}{2(-a)} =\frac{m_2^2v_0^2(m_2+m_1+M)}{2(m_1+m_2+M)^2g(m_1-M-m_2)}=\frac{m^2_2\cdot 2gH}{2(m_1+m_2+M)(m_1-M-m_2)g}=\\ =\frac{1,2^2\cdot 2\cdot 10\cdot 0,4}{2(4+1,2+1,8)(4-1,2-1,8)\cdot 10}=82,3~мм\) Ответ: 82,3 мм Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с землей. Будем считать ее инерциальной (ИСО). 2) Т. к. тела движутся поступательно, то применим для них модель материальной точки. 3) При падении шарика на него действует только сила тяжести, значит используем закон сохранения энергии. 4) При ударе шарика о стержень их импульс меняется на конечную величину. Т. к. время взаимодействия мало, то натяжение нити в этот момент принимает большое значение. Значит в момент удара действием силы тяжести можно пренебречь. Распишем импульс силы за время удара для левой и правой частей. 5) Т. к. нить нерастяжима, то по модулю ускорения грузов будут одинаковы. 6) Т. к. нить невесома, блок идеален, то натяжение нити по модулю будет одинаковым. 7) Распишем 2 закон Ньютона для обоих тел. https://youtu.be/o0i21dfXHJ0