На шероховатой наклонной плоскости покоится цилиндр. К верхней части цилиндра по касательной прикреплена параллельная наклонной плоскости невесомая нерастяжимая нить, другой конец которой закреплен на вертикальной стене. Масса цилиндра 1 кг, его радиус 20 см, коэффициент трения цилиндра о наклонную плоскость 0,5. Определите предельный угол 𝛼, при котором цилиндр будет находиться в равновесии. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

Относительно оси, проходящей перпендикулярно рисунку через точку \(O\), запишем правило моментов: \(TR=F_{тр}R\) Запишем условие равновесия: \(N-mg\cos\alpha=0\Rightarrow N=mg\cos\alpha\\ T+F_{тр}-mg\sin\alpha=0\\ F_{тр}+F_{тр}=mg\sin\alpha\Rightarrow F_{тр}=\frac{mg\sin\alpha}{2}\) Так как цилиндр покоится: \(F_{тр}\leq \mu N\) \(\frac{mg\sin\alpha}{2}\leq mg\cos\alpha\cdot\mu\Rightarrow tg\alpha\leq 2\mu\Rightarrow tg\alpha\leq 2\cdot 0,5=1\Rightarrow\alpha=45^\circ\) Ответ: \(45^\circ\) Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Для цилиндра используем модель твердого тела. 3) Цилиндр по условию находится в состоянии равновесия. Значит отсутствует поступательное и вращательное движения. 4) Для отсутствия поступательного движения распишем равенство нулю суммы векторов сил, действующих на тело. 5) Для отсутствия вращательного движения распишем правило моментов относительно оси, проходящей через точку \(O\) перпендикулярно рисунку. 6) Так как цилиндр однородный, его центр масс будет находиться посередине. 7) Так как относительно оси сила тяжести и реакции опоры не крутят тело, а сила натяжения нити крутит по часовой стрелке, то сила трения должна крутить против часовой и направлена вверх вдоль наклонной плоскости.

Внутрь сферической поверхности помещена гантель. Масса верхнего шарика \(m=60\) г. Стержень, соединяющий шарики, невесом. Коэффициент трения между большим шариком и сферической поверхностью \(0,3\). Трение между маленьким шариком и сферической поверхностью отсутствует. Определите, при каком значении массы шарика \(M\) гантель будет оставаться в неподвижном состоянии. Какие законы Вы используете для описания равновесия штанги? Обоснуйте их применение к данному случаю.

\(|\vec{T}_1|=|\vec{T}_2|=T\), так как стержень легкий. \(T_1\cos\alpha -mg=0\Rightarrow T=\frac{mg}{\cos\alpha} \\ F_{тр}-T\sin\alpha =0\Rightarrow F_{тр}=\frac{mg}{\cos\alpha}\sin\alpha =mgtg\alpha\\ N_2-Mg-T\cos\alpha =0\Rightarrow N_2=Mg+\frac{mg}{\cos\alpha}\cos\alpha\) Для нахождения в состоянии покоя \(F_{тр}\leq \mu N_2\) \(mgtg\alpha\leq \mu (Mg+mg)\\ mgtg\alpha -\mu Mg\leq \mu mg\Rightarrow M\geq \frac{m(tg\alpha -\mu )}{\mu}\\ M\geq \frac{60~г(tg 45^\circ -0,3)}{0,3}=140~г\) Ответ: 140 г. Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать её инерциальной (ИСО) 2) Так как размер шариков мал, используем для них модель материальной точки 3) Воспользуемся 2-м законом Ньютона для каждого из шариков 4) Так как шарики неподвижны, то ускорение каждого из них равно нулю 5) Так как стержень легкий, то сила, с которой он действует на шарики будет одинаковой по модулю 6) Если каждый из шариков неподвижен, то так как стержень жесткий, то вся система находится в состоянии покоя https://www.youtube.com/embed/uVeDsEbm_Cc?start=7367

Установка, состоящая из двух одинаковых легких пружин, и подвешенного на них стержня массой 𝑚=400 г, показана на рисунке. Общая жесткость пружин составляет 𝑘. На стержень с высоты ℎ=15 см падает пластилиновый шарик, масса которого равна массе стержня. Максимальное расстояние, на которое опускается стержень после падения шарика 𝐻=4,4см. Чему равна жесткость одной из пружин? Потерями механической энергии пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Перемещение шарика по оси \(y\): \(S_y=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{2a_y}\\ h=\frac{v_1^2-0}{2g}\Rightarrow v_1=\sqrt{2gh}\) По закону сохранения импульса в проекции на \(oy\): \(mv_1=2mv_2\Rightarrow v_2=\frac{v_1}{2}=\frac{\sqrt{2gh}}{2}\) Сила упругости пружин: \(F_{упр1}=F_{упр2}=k_0x_0\) По 2 закону Ньютона в проекции на \(oy\): \(k_0x_0+k_0x_0-mg=0\Rightarrow x_0=\frac{mg}{2k_0}\) По закону сохранения энергии: \(2mgH+\frac{2mv_2^2}{2}+\frac{2k_0x_0^2}{2}=2\frac{k_0(x_0+H)^2}{2}\\ 2mgH+m(\frac{\sqrt{2gh}}{2})^2+k_0(\frac{mg}{2k_0})^2=k_0(\frac{mg}{2k_0}+H)^2\\ 2\cdot 0,4\cdot 10\cdot 0,044+0,4\cdot \frac{2\cdot 10\cdot 0,15}{4}+\frac{(0,4\cdot 10)^2}{4k_0}=k_0(\frac{0,4\cdot 10}{2k_0}+0,044)^2\\ 0,352+0,3+\frac{4}{k_0}=k_0(\frac{2}{k_0}+0,044)^2\\ 0,652+\frac{4}{k_0}=k_0(\frac{4}{k_0^2}+\frac{0,176}{k_0}+0,001936)\\ 0,652+\frac{4}{k_0}=\frac{4}{k_0}+0,176+0,001936k_0\\ k_0=\frac{0,652-0,176}{0,001936}\approx 246~Н/м\) Ответ: 246 Н/м Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с землей. Будем считать ее инерциальной (ИСО). 2) Т.к. тела движутся поступательно, то применим для них модель материальной точки. 3) Во время попадания шарика на стержень не действует сила тяжести малый промежуток времени. Так как внутренние силы при этом меняют импульс на конечную величину, значит внутренние силы принимают большое значение, и действием силы тяжести в момент удара можно пренебречь и использовать закон сохранения импульса (\(mg<<F_{вн}\)). 4) При движении стержня с шариком вниз мы пренебрегаем силой сопротивления воздуха, а других непотенциальных сил на систему тел не действует. значит используем закон сохранения полной механической энергии. 5) Распишем для стержня до удара 2 закон Ньютона. https://youtu.be/fgTk_hVt-R0

Тонкая деревянная палочка массой \(m=3\) кг и длиной \(l=0,3\) м помещена в сосуд с водой и плавает там, не касаясь дна и стенок сосуда. К правому концу палочки прикреплена тонкая нерастяжимая нить, другой конец которой закреплен на меньшем из двух дисков идеального составного блока. На большем диске блока закреплена другая лёгкая нерастяжимая нить, на которой висит брусок массой \(M=0,5\) кг. Диски скреплены друг с другом, благодаря чему они образуют единое целое, \(R=12\) см, \(r=6\) см. Система находится в состоянии покоя. Найдите длину погруженной в воду части палочки. Какие физические законы вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применимость в данном случае.

Запишем правило моментов относительно перпендикулярной рисунку оси, проходящей через точку \(O_1\): \(T_1r=T_2R\\ T_2=Mg\) Получаем, что \(T_1r=MgR\Rightarrow T_1=Mg\frac{R}{r}\) По II закону Ньютона: \(T_1+F_A-mg=0\Rightarrow F_A=mg-T_1=mg-Mg\frac{R}{r}\) Запишем правило моментов относительно перпендикулярной рисунку оси, проходящей через точку \(О_2\): \(mgd_1=F_Ad_2, где~d_1=\frac{l}{2}\cos\alpha, d_2=\left(l-\frac{l_п}{2}\right)\cos\alpha\\ mg\frac{l}{2}\cos\alpha=F_A\left(l-\frac{l_п}{2}\right)\cos\alpha\\ mg\frac{l}{2}=g\left(m-M\frac{R}{r}\right)\left(l-\frac{l_п}{2}\right)\\ \frac{ml}{2(m-\frac{MR}{r})}=l-\frac{l_п}{2}\Rightarrow l_п=2l-\frac{ml}{m-\frac{MR}{r}}=l\left(\frac{2m-2M\frac{R}{r}-m}{m-M\frac{R}{r}}\right)=l\frac{m-2M\frac{R}{r}}{m-M\frac{R}{r}}=\\ =0,3\frac{3-2\cdot 0,5\cdot\frac{12~см}{6~см}}{3-0,5\cdot\frac{12}{6}}=0,15~м=15~см\) Ответ: 15 см Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчёта связанную с Землей. Будем считать её инерциальной. 2) Используем для составного блока, груза и тонкой палочки модель твердого тела. 3) Т.к. палочка однородная и тонкая, то центр масс находится посередине, а сила Архимеда действует из центра погруженной части. 4) Распишем условия равновесия для составного блока, груза и палки. Их два. Первое - сумма сил равна нулю, значит отсутствует поступательное движение. Значит относительно любой оси вращения выполняется правило моментов. Выберем для составного блока ось вращения перпендикулярную рисунку, проходящую через точку \(O_1\), а для палочки - \(O_2\). 5) Т.к. нити невесомые, то модуль сил натяжения для каждой из нитей сверху и снизу будет одинаков. 6) Т.к. блок идеальный, то выполняется уравнение (1).

Один моль идеального газа занимает объем \(V_0\) при температуре \(T_0\) и давлении \(p_0\). Сколько моль газа займут объем \(2V_0\) при температуре \(2T_0\) и давлении \(p_0\)?

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для каждого из случаев: \(p_0V_0=\nu_1RT_0\) \(p_0\cdot 2V_0=\nu_2R\cdot 2T_0\) Откуда: \(\nu_1=\nu_2=1~моль\) Ответ: 1 https://youtu.be/4MZCPGBkMJI?t=1854