Оценка и прикидка результата, составление выражений

Чтобы правила не казались случайными, нужно понимать смысл каждого действия. Начнём с основных понятий.

Прикидка

Чтобы сделать прикидку, числа обычно округляют до удобного разряда, а затем выполняют действие в уме. Чаще всего берут круглые числа: десятки, сотни, тысячи.

Например, если нужно прикинуть значение $83·58$, можно заменить числа на $80$ и $60$: $80·60=4800$.

Значит, точный ответ должен быть около $4800$. Если при вычислении получилось, например, $48140$ или $481,4$, нужно проверить запись и действия.

Оценка результата

При оценке мы ищем не одно примерное число, а диапазон. Для этого каждое число заменяют двумя приближёнными значениями:

• с недостатком — меньшим числом;
• с избытком — большим числом.

Для суммы и произведения положительных чисел нижнюю границу получают из меньших значений, а верхнюю — из больших.

Например, для произведения $83·58$ можно взять такие границы:

Получаем оценку: $4000<83·58<5400$.

Точный результат находится внутри этого промежутка.

Оценка разности

Для вычитания работает другая логика. Чтобы найти нижнюю границу разности, нужно взять уменьшаемое с недостатком, а вычитаемое — с избытком.

Например, если нужно оценить выражение $87-34$, для нижней границы можно взять: $80-40=40$.

Для верхней границы берём уменьшаемое с избытком, а вычитаемое — с недостатком: $90-30=60$.

Значит: $40<87-34<60$.

В школьных задачах обычно работают с положительными величинами. Если при грубом округлении нижняя граница получается неподходящей, например, если граница получается отрицательной или заведомо не имеет смысла по условию, округляйте не до десятков, а до единиц.

Составление выражений

Составление выражения по условию — это перевод текста задачи на математический язык.

В выражении могут быть числа, буквы, знаки действий и скобки. Если какая-то величина неизвестна, её обозначают латинской буквой, например $x$ или $y$.

Важно следить за словами в условии:

• «на 5 больше» — прибавить $5$;
• «на 5 меньше» — вычесть $5$;
• «в 5 раз больше» — умножить на $5$;
• «в 5 раз меньше» — разделить на $5$;
• «всего» или «вместе» — сложить части,
• «осталось» — вычесть.

Скобки ставят там, где действие должно выполняться над всей суммой или разностью.

Для задач на прикидку и оценку удобно использовать алгоритм, представленный ниже:

1. Прочитай условие и определи, что нужно найти: одно примерное значение или диапазон.
2. Для прикидки округли каждое число до ближайшего удобного значения.
3. Для оценки замени каждое число двумя приближениями: с недостатком и с избытком.
4. Выполни действия с округлёнными числами.
5. Запиши результат: примерное значение для прикидки или двойное неравенство для оценки.
6. Проверь, что точный ответ согласуется с прикидкой или попадает в найденные границы.

А для задач на составление выражений подойдёт следующий алгоритм:

1. Определи, какая величина неизвестна, и обозначь её буквой.
2. Вырази остальные величины через выбранную букву.
3. Составь выражение по смыслу условия, ставя скобки там, где действие относится ко всей сумме или разности.
4. Упрости выражение, если это возможно.

Пример: прикидка и оценка умножения

Условие

Вычисли выражение $83·58$. Сделай прикидку результата, а затем выполни оценку с указанием числовых границ.

Пример: составление буквенного выражения

Условие

На первой полке стояло $x$ книг. На второй полке стояло на $12$ книг меньше. Укажи математическое выражение для расчёта общего количества книг на двух полках, если со второй полки убрали 3 книги.

Подмена оценки прикидкой

Ошибка: при задании оценить выражение $123·38$ записывают только одно примерное значение: $120·40=4800$.

Это прикидка, а не оценка.

Как правильно: нужно указать нижнюю и верхнюю границы. Например:

$120·30=3600$,

$130·40=5200$.

Тогда оценка выглядит так: $3600<123·38<5200$.

Потеря скобок

Ошибка: при фразе «количество яблок в двух корзинах увеличили в два раза» записывают: $x+y·2$.

В этой записи в два раза увеличивается только $y$, а не вся сумма.

Как правильно: нужно взять первоначальную сумму в скобки: $(x+y)·2$.

Неполное упрощение

Ошибка: выражение оставляют в исходном виде, хотя его можно упростить: $x+(x-12-3)$.

Как правильно: нужно привести подобные слагаемые: $x+(x-12-3)=2x-15$.

Реши задания самостоятельно, а затем сравни с ответами.

Задание 1. Сделай прикидку произведения чисел $412$ и $19$.

Задание 2. Выполни оценку площади прямоугольника со сторонами $24$ сантиметра и $15$ сантиметров в виде двойного неравенства.

Задание 3. На тарелке лежало $y$ конфет. Петя съел $2$ конфеты, а затем мама доложила на тарелку $10$ конфет. Сколько конфет оказалось на тарелке в итоге? Составь буквенное выражение и упрости его.

Теперь ты умеешь отличать прикидку от оценки: находить одно примерное значение и находить границы, между которыми лежит точный ответ. Ты умеешь записывать оценку двойным неравенством и учитывать особое правило для разности. Ты умеешь составлять буквенные выражения по условию, обозначать неизвестное буквой, ставить скобки и приводить подобные слагаемые. С этими навыками ты сможешь проверять свои вычисления и реже допускать ошибки в записи.