Прямая может пересечь окружность, коснуться её или пройти мимо — третьего не дано. Какой из трёх случаев перед нами, решает сравнение всего двух чисел: радиуса и расстояния от центра до прямой. Вся сложность темы в том, что расстояние нужно уметь правильно найти: это не любой отрезок от центра, а строго перпендикуляр. Разберём три случая и порядок решения задач.
Две величины, которые всё решают
Определение расстояния здесь ключевое. Соединить центр с произвольной точкой прямой можно как угодно, но любой такой наклонный отрезок окажется длиннее перпендикуляра. Расстоянием считают именно кратчайший путь.
Сравнение $d$ и $r$ даёт три случая — и других быть не может, потому что два числа могут только относиться как «меньше», «равно» или «больше».
Прямая пересекает окружность
Отрезок секущей, концы которого лежат на окружности, называют хордой.
Отдельно стоит случай $d = 0$: перпендикуляр вырождается в точку, прямая проходит через центр, и хорда становится диаметром — самой длинной из возможных.
Прямая касается окружности
Точка касания — это как раз основание перпендикуляра. Отсюда важное свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Прямая проходит мимо
Сводная таблица
| Условие | Общих точек | Название прямой |
|---|---|---|
| $d < r$ | $2$ | секущая |
| $d = r$ | $1$ | касательная |
| $d > r$ | $0$ | — |
Правило работает и в обратную сторону: по количеству общих точек можно судить о соотношении $d$ и $r$. Именно так решается первая задача ниже.
Алгоритм решения
- Найди радиус. Если в условии дан диаметр, раздели его на два.
- Найди расстояние $d$ — длину перпендикуляра из центра на прямую.
- Сравни $d$ и $r$.
- Сделай вывод по таблице: меньше — секущая, равно — касательная, больше — общих точек нет.
Если задача обратная и дано количество точек, шаги три и четыре меняются местами: сначала по числу точек определяешь соотношение, потом находишь неизвестную величину.
Разбор задач
Обратная задача: по числу точек найти расстояние
Условие
Радиус окружности равен $5$ см. Прямая имеет с окружностью две общие точки. В каких пределах лежит расстояние от центра до прямой?
Рисунок к заданию 1
Шаг 1. Выписываем данные: $r = 5$ см, общих точек две.
Шаг 2. Определяем тип прямой. Две общие точки бывают только у секущей.
Шаг 3. Применяем правило в обратную сторону: секущая существует при $d < r$, то есть $d < 5$.
Шаг 4. Находим нижнюю границу. Расстояние — это длина, поэтому отрицательным оно быть не может. Наименьшее возможное значение — нуль, когда прямая проходит через центр.
Проверка. Возьмём крайние значения. При $d = 0$ прямая идёт через центр и пересекает окружность в двух точках, образуя диаметр, — подходит. При $d = 5$ прямая уже касается окружности, и точка одна, — не подходит, значит, пятёрка в ответ не входит.
Ответ: $0 \le d < 5$ см.
Касательная
Условие
Диаметр окружности равен $16$ см, расстояние от её центра до прямой $a$ составляет $8$ см. Определи взаимное расположение прямой и окружности.
Рисунок к заданию 2
Шаг 1. Проверяем, что дано. В условии диаметр, а сравнивать нужно с радиусом — значит, потребуется пересчёт.
Шаг 2. Находим радиус: $r = 16 : 2 = 8$ см.
Шаг 3. Выписываем расстояние: $d = 8$ см.
Шаг 4. Сравниваем: $d = r$, обе величины равны восьми.
Шаг 5. По таблице равенство означает ровно одну общую точку.
Ловушка. Если бы диаметр приняли за радиус, вышло бы $d = 8 < 16 = r$, и ответом стала бы секущая. Ошибка на одном действии полностью меняет вывод.
Ответ: прямая $a$ — касательная, общая точка одна.
Сравнение выражений с переменной
Условие
Радиус окружности равен $x$ см, а расстояние от центра до прямой составляет $x + 3$ см, где $x$ — положительное число. Пересекаются ли прямая и окружность?
Рисунок к заданию 3
Шаг 1. Выписываем величины: $r = x$, $d = x + 3$.
Шаг 2. Сравниваем выражения. К числу $x$ прибавили тройку, поэтому результат больше исходного при любом $x$: $x + 3 > x$.
Шаг 3. Значит, $d > r$ независимо от конкретного значения $x$.
Шаг 4. По таблице это случай без общих точек.
Проверка. Подставим наугад: при $x = 2$ получаем $r = 2$ и $d = 5$ — прямая далеко. При $x = 100$ выходит $r = 100$ и $d = 103$ — прямая по-прежнему снаружи, хоть и ближе относительно размеров окружности.
Ответ: общих точек нет, прямая проходит вне окружности.
Типичные ошибки
Принимают диаметр за радиус
Как ошибаются: берут число из условия и сразу сравнивают с расстоянием.
Как правильно: сначала проверить, что дано. Если диаметр, разделить на два. Ошибка удваивает радиус и часто меняет ответ на противоположный.
Считают расстоянием любой отрезок
Как ошибаются: соединяют центр с удобной точкой прямой и берут длину этого отрезка.
Как правильно: расстояние измеряют только по перпендикуляру. Наклонный отрезок всегда длиннее, и по нему можно решить, что прямая проходит мимо, хотя на деле она секущая.
Путают строгие и нестрогие знаки
Как ошибаются: пишут $d \le r$ для случая двух общих точек.
Как правильно: при $d = r$ точка уже одна, а не две. Для секущей знак строгий: $d < r$.
Забывают, что расстояние не бывает отрицательным
Как ошибаются: в обратных задачах записывают ответ вида $d < 5$, не указывая нижнюю границу.
Как правильно: длина всегда неотрицательна, поэтому полный ответ — двойное неравенство $0 \le d < 5$.
Считают, что случаев больше трёх
Как ошибаются: пытаются придумать положение с тремя общими точками.
Как правильно: прямая и окружность не могут иметь больше двух общих точек. Три случая исчерпывают все возможности, потому что два числа сравниваются ровно тремя способами.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Радиус окружности равен $12$ дм, прямая проведена на расстоянии $15$ дм от центра. Сколько у них общих точек?
Задание 2. Диаметр колеса равен $60$ см, дорога проходит на расстоянии $30$ см от его центра. Как называется такая прямая?
Задание 3. Прямая не имеет с окружностью общих точек, радиус равен $7$ см. Может ли перпендикуляр из центра равняться $6{,}9$ см?
Задание 4. Расстояние от центра до прямой равно $9$ см, диаметр окружности составляет $18$ см. Определи взаимное расположение.
Задание 5. Прямая проходит через центр окружности радиуса $6$ см. Сколько общих точек и чему равна хорда?
Задание 6. Может ли прямая иметь с окружностью ровно три общие точки?
Решение к заданию 1. Сравниваем: $15 > 12$, то есть $d > r$.
Ответ: общих точек нет.
Решение к заданию 2. Дан диаметр, поэтому находим радиус: $60 : 2 = 30$ см.
Сравниваем: $d = 30$ и $r = 30$, величины равны.
Ответ: касательная, общая точка одна.
Решение к заданию 3. Отсутствие общих точек означает $d > r$, то есть расстояние должно превышать $7$ см.
Но $6{,}9 < 7$, значит, выполнялось бы $d < r$ и прямая оказалась бы секущей.
Ответ: нет, такое невозможно.
Решение к заданию 4. Находим радиус: $18 : 2 = 9$ см.
Сравниваем: $d = 9$ и $r = 9$.
Ответ: касательная.
Решение к заданию 5. Прямая через центр даёт $d = 0$, а нуль меньше шести, поэтому прямая секущая — две общие точки.
Хорда проходит через центр, значит, это диаметр: $2 \cdot 6 = 12$ см.
Ответ: две точки, хорда равна $12$ см.
Решение к заданию 6. Возможны только три случая: $d r$, дающие две точки, одну и ни одной. Варианта с тремя точками среди них нет.
Ответ: нет, не может.
Заключение
Теперь ты умеешь определять взаимное расположение прямой и окружности. Всё сводится к сравнению двух чисел: если $d r$, общих точек нет.
Правило работает и в обратную сторону. Зная количество общих точек, можно найти соотношение величин, а через него — неизвестный радиус или расстояние.
Два места, где чаще всего теряют ответ. Первое — подмена радиуса диаметром: перед сравнением всегда проверяй, что дано в условии. Второе — само расстояние: это длина перпендикуляра из центра, а не любого отрезка до прямой. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для темы про касательную и её свойства.
