Круговая диаграмма показывает не количество, а долю — какую часть целого занимает каждая группа. Поэтому строится она не по самим данным, а по углам, в которые эти данные пересчитывают. Вся тема сводится к одному переводу и двум проверкам. Разберём, как считать углы и когда круговая диаграмма вообще не подходит.
Как устроена круговая диаграмма
Ключевое слово — «пропорциональна». Сектор вдвое больше означает вдвое большую долю, и это делает диаграмму наглядной без единой подписи.
Перевод процентов в градусы
Полный круг составляет $360°$, а вся совокупность — $100\%$. Отсюда и берётся переводной коэффициент.
Полезно запомнить несколько ориентиров: $25\%$ дают $90°$, $50\%$ — $180°$, $75\%$ — $270°$. По ним удобно быстро прикидывать, не ошибся ли расчёт.
Перевод долей в градусы
Например, $\frac{1}{3}$ круга даёт $\frac{1}{3} \cdot 360° = 120°$.
Можно поступить и иначе: сначала перевести дробь в проценты, потом умножить на $3{,}6°$. Результат тот же, поэтому выбирай удобный путь.
Когда диаграмму строить нельзя
Условие серьёзнее, чем кажется. Мало, чтобы сумма сошлась, — важно, чтобы каждый объект попадал ровно в одну группу. Если человек мог выбрать два ответа сразу, он окажется в двух секторах, и круг перестанет обозначать совокупность целиком.
Алгоритм построения
- Сложи все части. Сумма должна дать $100\%$ или $1$; иначе диаграмму строить нельзя.
- Переведи каждую часть в градусы: проценты умножь на $3{,}6°$, дроби — на $360°$.
- Проверь: сумма всех углов обязана составить $360°$.
- Начерти круг, отметь центр и проведи один радиус.
- Приложи транспортир к центру и отложи первый угол. Проведи новый радиус.
- От нового радиуса отложи следующий угол и так далее до последнего сектора.
Последний сектор получается сам собой — но если он заметно расходится с расчётом, где-то накопилась ошибка при откладывании.
Разбор задач
Оценки за контрольную
Условие
В классе $30$ человек. За контрольную по математике оценку «5» получили $20\%$ учеников, «4» — $50\%$, «3» — $20\%$, «2» — $10\%$. Найди углы секторов и опиши построение.
Шаг 1. Проверяем данные: $20 + 50 + 20 + 10 = 100\%$. Части не пересекаются — каждый ученик получил ровно одну оценку. Диаграмму строить можно.
Шаг 2. Замечаем, что число учеников в расчёте не участвует: проценты уже даны от всего класса. Оно понадобилось бы, только если бы спрашивали количество человек.
Шаг 3. Переводим проценты в градусы, умножая на $3{,}6°$:
оценка «5»: $20 \cdot 3{,}6° = 72°$
оценка «4»: $50 \cdot 3{,}6° = 180°$
оценка «3»: $20 \cdot 3{,}6° = 72°$
оценка «2»: $10 \cdot 3{,}6° = 36°$
Шаг 4. Проверяем: $72° + 180° + 72° + 36° = 360°$. Расчёт верен.
Шаг 5. Строим. Проводим через центр прямую — она сразу отсекает половину круга, то есть $180°$ для оценки «4». Оставшуюся половину делим транспортиром на $72°$, $72°$ и $36°$.
Рисунок к заданию 1
Прикидка. Половина всех оценок — четвёрки, значит, их сектор занимает ровно полкруга. Двоек вдесятеро меньше ста процентов, поэтому их сектор самый узкий. Картинка согласуется с числами.
Ответ: $72°$, $180°$, $72°$ и $36°$.
Распорядок дня в долях
Условие
Школьник тратит на сон $\frac{1}{3}$ суток, на школу $\frac{1}{4}$, на домашние задания $\frac{1}{6}$, остальное время — на отдых и спорт. Найди углы всех секторов.
Рисунок к заданию 2
Шаг 1. Находим неизвестную долю. Все сутки — это единица, поэтому вычитаем из неё известные части.
Приводим дроби к общему знаменателю $12$: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$.
Складываем: $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12}$.
Вычитаем: $1-\frac{9}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
На отдых и спорт приходится $\frac{1}{4}$ суток.
Шаг 2. Переводим доли в градусы, умножая на $360°$:
сон: $\frac{1}{3} \cdot 360° = 120°$
школа: $\frac{1}{4} \cdot 360° = 90°$
уроки дома: $\frac{1}{6} \cdot 360° = 60°$
отдых: $\frac{1}{4} \cdot 360° = 90°$
Шаг 3. Проверяем: $120° + 90° + 60° + 90° = 360°$. Верно.
Прикидка. Переведём доли в часы: $\frac{1}{3}$ суток — это $8$ часов сна, $\frac{1}{4}$ — $6$ часов школы, $\frac{1}{6}$ — $4$ часа уроков, $\frac{1}{4}$ — $6$ часов отдыха. Вместе $24$ часа, распорядок правдоподобный.
Ответ: $120°$, $90°$, $60°$ и $90°$. Два сектора оказались прямыми углами — их удобно отложить даже без транспортира.
Когда диаграмма не подходит
Условие
В опросе о любимом времени года зиму выбрали $25\%$ учеников, весну $30\%$, лето $50\%$, осень $15\%$. Можно ли показать эти данные круговой диаграммой?
Шаг 1. Складываем части: $25 + 30 + 50 + 15 = 120\%$.
Шаг 2. Сравниваем с целым. Получилось больше ста процентов, значит, условие нарушено.
Шаг 3. Ищем причину. Скорее всего, отвечающим разрешили выбрать несколько времён года, и часть учеников попала сразу в две группы.
Шаг 4. Проверяем через градусы. Если всё же посчитать углы, их сумма составит $120 \cdot 3{,}6° = 432°$ — больше полного круга. Такие секторы просто не поместятся, они начнут накладываться друг на друга.
Рисунок к заданию 3
Ответ: нельзя. Части пересекаются и не образуют целого, поэтому круговая диаграмма исказит данные. Здесь подойдёт столбчатая, где столбцы независимы и их сумма ничем не ограничена.
Типичные ошибки
Принимают проценты за градусы
Как ошибаются: для сектора в $25\%$ откладывают угол $25°$.
Как правильно: переводить проценты в градусы умножением на $3{,}6°$. Четверть круга — это $90°$, а не $25°$. Проверить себя помогают ориентиры: $50\%$ дают ровно половину круга.
Не проверяют сумму углов
Как ошибаются: считают три сектора из четырёх, а последний дорисовывают на глаз.
Как правильно: складывать все углы до построения. Если сумма отличается от $360°$, ошибка уже допущена, и чертёж её не исправит.
Строят диаграмму по пересекающимся данным
Как ошибаются: берут результаты опроса с несколькими вариантами ответа и делят круг между ними.
Как правильно: проверять не только сумму, но и смысл. Каждый объект должен попадать ровно в одну группу, иначе круг перестаёт обозначать целое.
Считают количество вместо доли
Как ошибаются: видят «$12$ человек из $30$» и откладывают угол $12°$ или $12 \cdot 3{,}6°$.
Как правильно: сначала найти долю, потом переводить. Здесь $\frac{12}{30} = 0{,}4$, то есть $40\%$, а угол равен $144°$.
Округляют слишком рано
Как ошибаются: переводят каждую долю в проценты с округлением, а потом удивляются, что сумма углов даёт $358°$.
Как правильно: считать точно, а округлять только итоговые углы. Небольшое расхождение после округления допустимо, но его нужно отличать от настоящей ошибки.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найди центральный угол сектора, составляющего $15\%$ совокупности.
Задание 2. Какой угол имеет сектор, занимающий $\frac{2}{5}$ круга?
Задание 3. В шкафу стоят сказки, учебники и словари. Учебники занимают $40\%$ места, словари $15\%$. Найди угол сектора для сказок.
Задание 4. Сектор равен $126°$. Какому проценту он соответствует?
Задание 5. Из $40$ учеников класса $16$ занимаются спортом. Найди угол соответствующего сектора.
Задание 6. Сумма частей в задаче равна $95\%$. Можно ли строить круговую диаграмму?
Решение к заданию 1. Умножаем проценты на переводной коэффициент: $15 \cdot 3{,}6° = 54°$.
Ответ: $54°$.
Решение к заданию 2. Долю умножаем на полный круг: $\frac{2}{5} \cdot 360° = 144°$.
Проверка: $\frac{2}{5} = 40\%$, и $40 \cdot 3{,}6° = 144°$. Оба способа дали одно.
Ответ: $144°$.
Решение к заданию 3. Сначала находим долю сказок: $100\%-40\%-15\% = 45\%$.
Переводим в градусы: $45 \cdot 3{,}6° = 162°$.
Ответ: $162°$.
Решение к заданию 4. Задача обратная: известен угол, нужен процент. Делим на переводной коэффициент: $126 : 3{,}6 = 35\%$.
Проверка: $35 \cdot 3{,}6° = 126°$.
Ответ: $35\%$.
Решение к заданию 5. Сначала находим долю: $\frac{16}{40} = 0{,}4$, то есть $40\%$.
Затем угол: $40 \cdot 3{,}6° = 144°$.
Ответ: $144°$.
Решение к заданию 6. Части должны составлять ровно целое. При сумме $95\%$ пять процентов потерялись: либо какая-то группа не учтена, либо в подсчётах ошибка.
Ответ: нет, сначала нужно найти недостающие $5\%$.
Заключение
Теперь ты умеешь переводить доли и проценты в градусы и строить круговую диаграмму по шагам. Перевод простой: процент даёт $3{,}6°$, а дробь от целого умножают сразу на $360°$.
Две проверки делают работу надёжной. Сумма частей должна давать $100\%$ или $1$, сумма углов — ровно $360°$. Если что-то из этого не сходится, чертить рано.
И следи за смыслом данных, а не только за арифметикой. Круговая диаграмма годится, лишь когда каждый объект попадает ровно в одну группу. Если варианты ответа могли совпадать у одного человека, части наложатся друг на друга, и понадобится столбчатая диаграмма. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем про частоты и анализ данных.
