Двадцать оценок, выписанных подряд, — это просто вереница цифр, в которой ничего не видно. Стоит собрать их в таблицу частот, и картина проявляется сразу: каких оценок больше, каких почти нет. Вся работа сводится к аккуратному подсчёту и двум проверкам, которые ловят почти любую ошибку. Разберём виды таблиц, алгоритм и типичные ловушки.
Основные понятия
Любая таблица состоит из строк и столбцов. Верхнюю строку называют шапкой — она объясняет, что за данные лежат ниже.
Ряд данных и абсолютная частота
Исходные наблюдения — оценки, результаты измерений, рост одноклассников — образуют ряд данных. Чтобы навести в нём порядок, сначала выписывают все различные значения по возрастанию.
Таблицу, построенную по таким подсчётам, называют таблицей частот.
Это первая проверка, и пропускать её не стоит: она сразу показывает, потерялось ли значение при подсчёте.
Относительная частота
Иногда важно не само количество, а доля — какую часть от всех наблюдений составляет каждое значение.
Записывают её десятичной дробью или переводят в проценты. Если из $20$ учеников пятёрку получили $6$ человек, то $W = \frac{6}{20} = 0{,}3$, то есть $30\%$.
Это вторая проверка. Понятно, откуда она берётся: доли делят целое, а целое — это все наблюдения сразу.
Обрати внимание на разницу между двумя величинами. Абсолютная частота — всегда целое число, это штуки. Относительная — дробь от нуля до единицы, и больше единицы она быть не может.
Двумерные таблицы
Когда данные распределяют сразу по двум признакам, строят двумерную таблицу: один признак задаёт строки, другой — столбцы. Число на пересечении отвечает обоим условиям сразу.
Разберём на примере. В классе спросили, каким транспортом ученики добираются до школы, и отдельно записали, мальчик это или девочка.
| Пешком | Автобус | Машина | Итого | |
|---|---|---|---|---|
| Мальчики | 7 | 4 | 3 | 14 |
| Девочки | 5 | 6 | 2 | 13 |
| Итого | 12 | 10 | 5 | 27 |
Читается таблица так: число $6$ на пересечении строки «Девочки» и столбца «Автобус» означает, что шесть девочек ездят на автобусе. Это единственная ячейка, отвечающая сразу обоим признакам.
По краям записаны итоги. В правом столбце — сколько всего мальчиков и сколько девочек. В нижней строке — сколько человек пользуется каждым видом транспорта. В правом нижнем углу стоит общее количество опрошенных.
Проверяем: по строкам $14 + 13 = 27$, по столбцам $12 + 10 + 5 = 27$. Значения совпали, значит, таблица заполнена без ошибок. Если бы суммы разошлись, ошибку следовало искать внутри таблицы.
Интервальные таблицы
Если различных значений слишком много, перечислять каждое неудобно. Тогда весь диапазон делят на равные промежутки — интервалы — и считают, сколько наблюдений попало в каждый.
Такое соглашение нужно, чтобы каждое наблюдение попало ровно в один интервал: без него пограничные числа считались бы дважды.
Алгоритм работы с таблицей
- Выпиши все различные значения ряда по возрастанию — это первая строка таблицы.
- Посчитай, сколько раз встречается каждое, вычёркивая учтённые числа из исходного списка.
- Проверь: сумма абсолютных частот должна совпасть с количеством наблюдений.
- Если нужны доли, раздели каждую частоту на общее количество.
- Проверь: сумма относительных частот должна дать $1$.
Третий и пятый пункты занимают несколько секунд, зато ловят практически любую ошибку подсчёта.
Разбор задач
Оценки за тест
Условие
В классе $20$ учеников написали тест. Результаты: 5, 4, 4, 3, 5, 2, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 3, 2, 5, 4, 4, 3, 5. Составь таблицу абсолютных и относительных частот.
Шаг 1. Находим различные значения. В ряду встречаются только оценки $2$, $3$, $4$ и $5$ — записываем их по возрастанию.
Шаг 2. Считаем каждую, вычёркивая учтённые числа: двойка встретилась $2$ раза, тройка $4$, четвёрка $8$, пятёрка $6$.
Шаг 3. Проверяем сумму: $2 + 4 + 8 + 6 = 20$. Совпало с числом учеников — ни одна оценка не потерялась.
Шаг 4. Находим доли, деля каждую частоту на $20$:
$\frac{2}{20} = 0{,}1, \quad \frac{4}{20} = 0{,}2, \quad \frac{8}{20} = 0{,}4, \quad \frac{6}{20} = 0{,}3$
Шаг 5. Заполняем таблицу.
| Оценка | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Абсолютная частота | 2 | 4 | 8 | 6 |
| Относительная частота | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 |
Проверка. Складываем доли: $0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1$. Обе проверки пройдены.
Что видно из таблицы. Чаще всего встречается четвёрка — она составляет $40\%$ всех оценок. Двоек всего $10\%$.
Ответ: частоты $2$, $4$, $8$, $6$; доли $0{,}1$, $0{,}2$, $0{,}4$, $0{,}3$.
Время пути до школы
Условие
Ученики измерили время пути до школы в минутах: 10, 15, 20, 15, 10, 30, 20, 15, 10, 20. Составь таблицу частот.
Шаг 1. Выписываем различные значения по возрастанию: $10$, $15$, $20$, $30$.
Шаг 2. Считаем частоты: $10$ минут — $3$ раза, $15$ минут — $3$, $20$ минут — $3$, $30$ минут — $1$.
Шаг 3. Проверяем: $3 + 3 + 3 + 1 = 10$. В исходном ряду ровно $10$ чисел — верно.
| Время, мин | 10 | 15 | 20 | 30 |
| Абсолютная частота | 3 | 3 | 3 | 1 |
Что видно из таблицы. Три значения встречаются одинаково часто, а $30$ минут — только у одного ученика. Такое одиночное значение, далёкое от остальных, называют выбросом.
Ответ: частоты $3$, $3$, $3$, $1$ для значений $10$, $15$, $20$, $30$ минут.
Интервальная таблица
Условие
Рост учеников в сантиметрах: 152, 158, 160, 149, 165, 171, 155, 168, 150, 163, 159, 174. Раздели данные на интервалы $[145; 155)$, $[155; 165)$, $[165; 175)$ и заполни таблицу.
Шаг 1. Вспоминаем правило границ: левая входит, правая нет. Значит, число $155$ пойдёт во второй интервал, а не в первый.
Шаг 2. Разбираем каждое значение. В первый интервал попадают $152$, $149$, $150$ — три числа.
Шаг 3. Во второй интервал: $158$, $160$, $155$, $163$, $159$ — пять чисел. Обрати внимание на $155$: оно ровно на границе и относится сюда.
Шаг 4. В третий интервал: $165$, $171$, $168$, $174$ — четыре числа. Значение $165$ тоже пограничное и попадает именно в этот промежуток.
Шаг 5. Заполняем таблицу.
| Рост, см | [145; 155) | [155; 165) | [165; 175) |
| Число учеников | 3 | 5 | 4 |
Проверка. Сумма: $3 + 5 + 4 = 12$. Столько чисел и было в условии — ни одно не потерялось и не посчиталось дважды.
Ответ: $3$, $5$ и $4$ ученика.
Типичные ошибки
Теряют число при подсчёте
Как ошибаются: пересчитывают глазами, держа промежуточный итог в уме.
Как правильно: вычёркивать карандашом каждое учтённое число. Тогда сразу видно, если что-то осталось без внимания, а итоговая проверка подтвердит результат.
Пропускают проверку
Как ошибаются: заполняют строку частот и сразу записывают ответ.
Как правильно: складывать частоты и сверять с количеством наблюдений. Проверка занимает секунды, а ошибку находит мгновенно.
Путают границы интервалов
Как ошибаются: относят число $20$ и к промежутку $[10; 20)$, и к $[20; 30)$ — либо записывают его в первый.
Как правильно: смотреть на скобки. Круглая означает, что граница не входит. Число $20$ попадёт только в $[20; 30)$, и ни в какой другой.
Смешивают два вида частот
Как ошибаются: записывают в строку относительных частот количество наблюдений.
Как правильно: абсолютная частота — целое число штук, относительная — доля от нуля до единицы. Если в строке долей появилось число больше единицы, там точно ошибка.
Забывают, что доли могут не сойтись из-за округления
Как ошибаются: получают сумму $0{,}99$ и решают, что всё пропало.
Как правильно: проверять, откуда взялось расхождение. Если доли округляли, небольшое отклонение нормально. Если нет — значит, потеряно наблюдение.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Сумма всех относительных частот в таблице получилась $0{,}8$. Верно ли решена задача?
Задание 2. Даны интервалы $[0; 5)$ и $[5; 10)$. В какой из них попадёт число $5$?
Задание 3. Дан ряд: 2, 2, 4, 4, 4. Найди относительную частоту значения $4$.
Задание 4. В ряду из $25$ наблюдений значение $7$ встретилось $5$ раз. Найди его относительную частоту в процентах.
Задание 5. Абсолютные частоты в таблице равны $4$, $7$, $2$ и $6$. Сколько всего было наблюдений?
Задание 6. Может ли относительная частота равняться $1{,}2$? А $0$?
Задание 7. Вернись к двумерной таблице про транспорт. Сколько учеников добираются до школы не пешком? Какую долю от всех опрошенных составляют девочки?
Решение к заданию 1. Доли делят целое, поэтому в сумме обязаны давать $1$. Получилось $0{,}8$ — значит, потеряно наблюдение либо ошибка в вычислении дробей.
Ответ: нет, решение неверно.
Решение к заданию 2. Левая граница входит в интервал, правая нет. Для промежутка $[5; 10)$ число $5$ — левая граница.
Ответ: в интервал $[5; 10)$.
Решение к заданию 3. Всего чисел $N = 5$, значение $4$ встретилось $m = 3$ раза.
Считаем: $W = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.
Ответ: $0{,}6$, то есть $60\%$.
Решение к заданию 4. Подставляем в формулу: $W = \dfrac{5}{25} = 0{,}2$.
Переводим в проценты: $0{,}2 = 20\%$.
Ответ: $20\%$.
Решение к заданию 5. Сумма абсолютных частот равна числу наблюдений: $4 + 7 + 2 + 6 = 19$.
Ответ: $19$ наблюдений.
Решение к заданию 6. Относительная частота — доля от целого, поэтому не может превышать $1$. Значение $1{,}2$ невозможно.
А ноль возможен: он означает, что значение в ряду не встретилось ни разу.
Ответ: $1{,}2$ — нет, $0$ — да.
Решение к заданию 7. Всего опрошено $27$ человек, пешком ходят $12$. Значит, остальными способами добираются $27-12=15$ учеников.
Проверим по таблице напрямую: $10 + 5 = 15$ — автобус и машина вместе. Сходится.
Девочек в классе $13$, поэтому их доля равна $\dfrac{13}{27} \approx 0{,}48$, то есть примерно $48\%$.
Ответ: $15$ учеников; девочки составляют около $48\%$.
Заключение
Теперь ты умеешь строить таблицы частот и читать готовые. Порядок один и тот же: выписать различные значения по возрастанию, посчитать, сколько раз встретилось каждое, при необходимости найти доли.
Две проверки делают работу надёжной. Сумма абсолютных частот равна количеству наблюдений — это ловит потерянное значение. Сумма относительных частот равна единице — это ловит ошибку в делении.
В двумерных таблицах проверок тоже две: итоги по строкам и по столбцам обязаны сойтись в правом нижнем углу. А с интервальными следи за скобками: левая граница входит в промежуток, правая относится к следующему. Благодаря этому правилу каждое число попадает ровно в один интервал, без пропусков и повторов. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем про среднее арифметическое, медиану и диаграммы.
