График — это условие задачи, записанное рисунком. В нём есть всё то же самое: величины, их значения, изменения во времени. Разница только в том, что числа приходится не читать, а снимать с осей. И почти все ошибки берутся из одного места — цену деления определяют на глаз или считают равной единице. Разберём порядок чтения, который защищает от этого.
Из чего состоит график
Две оси
Разделение не случайное. Время идёт независимо от того, что происходит с чайником, а вот температура чайника зависит от времени. Поэтому время почти всегда оказывается на горизонтальной оси.
Рядом с каждой осью в скобках стоят единицы измерения — минуты, километры, градусы. Их читают до всех вычислений.
Цена деления
Пример: между отметками $0$ и $10$ помещается пять клеток. Тогда цена деления равна $10 : 5 = 2$ единицы, а не единица, как кажется на первый взгляд.
Считать цену деления нужно для каждой оси отдельно — они почти никогда не совпадают.
Что говорит линия
Направление линии описывает сам процесс:
- идёт вверх — величина растёт: температура повышается, автомобиль удаляется от дома;
- идёт вниз — величина убывает: вода остывает, турист возвращается назад;
- горизонтальна — величина не меняется: предмет сохраняет температуру, автомобиль стоит.
Есть и вторая подсказка — крутизна. Чем круче линия, тем быстрее идёт процесс. Пологий участок означает медленное изменение, почти отвесный — резкое.
Алгоритм чтения графика
- Прочитай подписи осей и единицы измерения в скобках.
- Найди цену деления отдельно для горизонтальной и вертикальной оси.
- Отметь на нужной оси величину, данную в условии.
- Проведи от этой отметки перпендикуляр до пересечения с линией графика.
- От точки пересечения проведи перпендикуляр ко второй оси и сними значение.
- Проверь единицы: если в вопросе просят другие, выполни перевод.
Второй шаг пропускать нельзя, даже если клетки выглядят единичными.
Разбор задач
Температура воздуха за сутки
Условие
На графике показано изменение температуры воздуха в течение суток. По горизонтали отложено время в часах, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определи температуру в $4$ часа, найди моменты, когда она равнялась нулю, и укажи промежутки, где температура понижалась.
Рисунок к заданию 1
Шаг 1. Находим температуру в $4$ часа. Отмечаем на горизонтальной оси число $4$, поднимаем перпендикуляр до линии графика, от точки пересечения идём влево к вертикальной оси.
Получаем $-8$ °C.
Шаг 2. Ищем нулевую температуру. Нуль на вертикальной оси — это сама горизонтальная ось, поэтому нужны точки, где линия её пересекает.
Таких точек две: $8$ часов и $20$ часов.
Шаг 3. Определяем промежутки убывания. Температура падает там, где линия идёт вниз.
Первый участок — от начала суток до $4$ часов. Второй — от $14$ часов до конца суток.
Что видно дополнительно. Между $4$ и $14$ часами линия поднимается, значит, это время нагрева. Самая высокая температура приходится на $14$ часов — там линия меняет направление.
Ответ: в $4$ часа было $-8$ °C; нуль в $8$ и $20$ часов; понижение с $0$ до $4$ и с $14$ до $24$ часов.
Нагрев двигателя
Условие
График показывает разогрев двигателя. По горизонтали — время в минутах с момента запуска, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Сколько минут двигатель нагревался от $40$ °C до $90$ °C?
Рисунок к заданию 2
Шаг 1. Разбираемся, что искать. Известны две температуры, а нужен промежуток времени — значит, работаем в обратную сторону: от вертикальной оси к горизонтальной.
Шаг 2. Находим момент, когда двигатель нагрелся до $40$ °C. Отмечаем $40$ на вертикальной оси, ведём горизонталь вправо до линии, опускаем перпендикуляр вниз.
Получаем $2$ минуты.
Шаг 3. Тем же способом находим момент для $90$ °C: получаем $7$ минут.
Шаг 4. Вычисляем длительность промежутка: $7-2 = 5$ минут.
Проверка. За эти $5$ минут температура выросла на $90-40 = 50$ °C, то есть примерно на $10$ градусов в минуту. Правдоподобная скорость прогрева.
Ответ: $5$ минут.
Поход с привалом
Условие
Туристы вышли из лагеря, дошли до озера, отдохнули и вернулись. По горизонтали — время в часах от начала похода, по вертикали — расстояние от лагеря в километрах. Линия сначала поднимается до отметки $12$, затем идёт горизонтально, потом спускается к нулю. Сколько времени длился привал?
Рисунок к заданию 3
Шаг 1. Переводим условие на язык графика. Во время привала туристы стоят, расстояние от лагеря не меняется — значит, привалу соответствует горизонтальный участок.
Шаг 2. Находим начало участка. Опускаем перпендикуляр от точки, где линия перестала подниматься: получаем $3$ часа.
Шаг 3. Находим конец участка: перпендикуляр от точки, где линия начала спускаться, даёт $5$ часов.
Шаг 4. Считаем длительность: $5-3 = 2$ часа.
Что видно дополнительно. До привала туристы прошли $12$ км за $3$ часа, то есть по $4$ км в час. Обратный участок круче подъёма — значит, назад они шли быстрее.
Ответ: привал длился $2$ часа.
Типичные ошибки
Считают клетку единицей
Как ошибаются: видят клетку и записывают значение, не проверив подписи осей.
Как правильно: находить цену деления по подписанным числам. Если между нулём и сотней всего две клетки, каждая стоит $50$ единиц, и ошибка в ответе будет пятидесятикратной.
Берут одну цену деления для обеих осей
Как ошибаются: считают масштаб по вертикали и применяют его же по горизонтали.
Как правильно: оси независимы, у каждой свои подписи. Цену деления вычисляют для них отдельно.
Путают, с какой оси снимать ответ
Как ошибаются: ищут время на вертикальной оси или температуру на горизонтальной.
Как правильно: смотреть на единицы измерения в подписях. Часы и минуты — это время, градусы — температура, километры — расстояние. Единицы подскажут, где искать нужную величину.
Отвечают в чужих единицах
Как ошибаются: снимают с оси $90$ минут и записывают ответ, хотя спрашивали часы.
Как правильно: сверять единицы вопроса с единицами оси и при необходимости переводить. Здесь ответ будет $1{,}5$ часа.
Путают величину с её изменением
Как ошибаются: на вопрос «на сколько остыл чай» отвечают температурой в конечный момент.
Как правильно: различать два типа вопросов. «Какая температура» — снимают значение с оси. «На сколько изменилась» — находят разность двух значений.
Самопроверка
Представь график остывания чая: по горизонтали время в минутах от $0$ до $30$, по вертикали температура от $20$ до $100$ °C. Линия плавно спускается от точки $(0; 90)$ до точки $(30; 25)$ и проходит через точку $(15; 40)$.
Задание 1. Какой была температура чая в начале наблюдения?
Задание 2. На сколько градусов чай остыл за первые пятнадцать минут?
Задание 3. На сколько градусов он остыл за вторые пятнадцать минут?
Задание 4. В какой половине наблюдения чай остывал быстрее?
Задание 5. Между отметками $0$ и $30$ на оси времени помещается шесть клеток. Чему равна цена деления?
Задание 6. Может ли линия на этом графике идти вверх?
Рисунок к заданию 4
Решение к заданию 1. Начало наблюдения — это момент времени $0$. По условию линия выходит из точки $(0; 90)$.
Ответ: $90$ °C.
Решение к заданию 2. Вопрос про изменение, поэтому находим разность значений.
В начале было $90$ °C, на пятнадцатой минуте стало $40$ °C: $90-40 = 50$ °C.
Ответ: остыл на $50$ °C.
Решение к заданию 3. На пятнадцатой минуте температура $40$ °C, на тридцатой — $25$ °C.
Считаем: $40-25 = 15$ °C.
Ответ: остыл на $15$ °C.
Решение к заданию 4. Сравниваем изменения за одинаковые промежутки: за первые пятнадцать минут $50$ °C, за вторые всего $15$ °C.
Это видно и по чертежу: вначале линия круче, потом становится пологой.
Ответ: в первой половине.
Решение к заданию 5. Делим разность подписанных чисел на количество клеток: $30 : 6 = 5$ минут.
Ответ: $5$ минут.
Решение к заданию 6. Подъём линии означал бы, что чай нагревается сам по себе. Оставленный в комнате чай только остывает, поэтому линия всё время идёт вниз.
Ответ: нет, при остывании линия только убывает.
Заключение
Теперь ты умеешь читать графики реальных процессов: определять оси, находить цену деления, снимать значения и описывать поведение линии. Порядок всегда один — сначала подписи и масштаб, потом сами числа.
Цена деления — главное место, где теряют ответ. Её вычисляют делением разности подписанных чисел на количество клеток, причём для каждой оси отдельно.
Направление линии описывает процесс: вверх — рост, вниз — убывание, горизонтально — покой. А крутизна показывает скорость: чем круче участок, тем быстрее идёт изменение. И перед записью ответа проверь единицы измерения: с оси можно снять минуты, а в вопросе спросят часы. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для темы про функции и их графики.
