Две окружности могут лежать порознь, пересекаться в двух точках или касаться друг друга — и здесь важно не путать внешнее касание с внутренним. Определить, какой из случаев перед нами, помогает сравнение всего трёх чисел: двух радиусов и расстояния между центрами. Сложность темы в том, что нужно правильно сопоставить это расстояние сразу с двумя пороговыми значениями — суммой и разностью радиусов. Разберём все случаи и порядок решения задач.
Три величины, которые всё решают
Договорённость о том, что $R$ — это именно больший радиус, здесь ключевая. Если радиусы перепутать местами, разность $R-r$ окажется отрицательной, а расстояние отрицательным быть не может — это сразу сигнал, что радиусы подставлены не в том порядке. Если окружности равны по радиусу, разность $R-r$ просто равна нулю, и все формулы ниже продолжают работать.
Сравнение $d$ сразу с двумя числами — суммой $R + r$ и разностью $R-r$ — даёт пять случаев, и других быть не может: расстояние может быть меньше, равно или больше каждого из двух порогов, а поскольку разность радиусов всегда не превосходит их суммы, эти сравнения складываются ровно в пять непересекающихся вариантов.
Окружности лежат одна вне другой
Если $d > R + r$, общих точек нет: окружности расположены порознь, не соприкасаясь.
Окружности пересекаются
Если $R-r < d < R + r$, общих точек две.
Окружности касаются внутренним образом
Если $d = R-r$, общая точка снова ровно одна, но устроено касание иначе: меньшая окружность касается большей изнутри, и оба центра лежат по одну сторону от точки касания.
Одна окружность лежит внутри другой без касания
Если $d < R-r$, общих точек нет: меньшая окружность целиком помещается внутри большей. Отдельно стоит случай $d = 0$ — тогда центры совпадают, и такие окружности называют концентрическими.
Сводная таблица
| Условие | Общих точек | Общих касательных | Расположение |
|---|---|---|---|
| $d > R + r$ | $0$ | $4$ | вне друг друга |
| $d = R + r$ | $1$ | $3$ | внешнее касание |
| $R-r < d < R + r$ | $2$ | $2$ | пересекаются |
| $d = R-r$ | $1$ | $1$ | внутреннее касание |
| $d < R-r$ | $0$ | $0$ | одна внутри другой |
Правило работает и в обратную сторону: по числу общих точек или по числу общих касательных можно судить о том, как расположены окружности.
Алгоритм решения
- Выпиши радиусы $R$, $r$ (следи, чтобы $R$ было не меньше $r$) и расстояние $d$.
- Найди сумму радиусов $R + r$.
- Найди разность радиусов $R-r$.
- Сравни $d$ сразу с обоими числами.
- Сделай вывод по таблице: равенство с суммой — внешнее касание, равенство с разностью — внутреннее касание, число между разностью и суммой — пересечение, больше суммы — окружности вне друг друга, меньше разности — одна внутри другой.
Если задача обратная и дан вид расположения или число касательных, шаги четыре и пять меняются местами: сначала по условию определяешь нужное равенство или неравенство, потом находишь неизвестную величину.
Разбор задач
Внешнее и внутреннее касание
Условие
Радиусы окружностей равны $5$ см и $3$ см. Найди расстояние между центрами, если окружности касаются внешним образом, а затем — если внутренним.
Шаг 1. Выписываем данные: $R = 5$ см, $r = 3$ см.
Шаг 2. Для внешнего касания расстояние равно сумме радиусов: $d = R + r = 5 + 3 = 8 \text{ см}.$
Рисунок к заданию 1а
Шаг 3. Для внутреннего касания расстояние равно разности радиусов: $d = R-r = 5-3 = 2 \text{ см}.$
Рисунок к заданию 1б
Проверка. При внешнем касании центры дальше друг от друга, поэтому радиусы складываются; при внутреннем — центры ближе, и меньший радиус вычитается из большего. Восемь сантиметров больше двух — это согласуется с тем, что при внешнем касании расстояние всегда больше, чем при внутреннем для тех же радиусов.
Ответ: $8$ см при внешнем касании, $2$ см при внутреннем.
Определение расположения по трём числам
Условие
Радиусы окружностей равны $12$ см и $7$ см, расстояние между центрами составляет $5$ см. Определи взаимное расположение окружностей. Сколько у них общих касательных?
Рисунок к заданию 2
Шаг 1. Выписываем данные: $R = 12$ см, $r = 7$ см, $d = 5$ см.
Шаг 2. Находим сумму радиусов: $R + r = 19$ см.
Шаг 3. Находим разность радиусов: $R-r = 5$ см.
Шаг 4. Сравниваем: $d = 5$ см совпадает с $R-r = 5$ см, то есть $d = R-r.$
Шаг 5. По таблице это внутреннее касание, а при внутреннем касании общая касательная одна.
Ловушка. Если бы при сравнении случайно взяли сумму радиусов вместо разности, получилось бы $d = 5 < 19 = R + r$, и можно было бы ошибочно решить, что окружности пересекаются. Сравнивать нужно сразу с обоими числами, а не только с одним из них.
Ответ: окружности касаются внутренним образом, общая касательная одна.
Неизвестный радиус
Условие
Известно, что окружности касаются внешним образом. Расстояние между их центрами равно $18$ см, а радиус одной из них — $11$ см. Найди радиус второй окружности и число общих касательных.
Рисунок к заданию 3
Шаг 1. Выписываем данные: $d = 18$ см, один из радиусов равен $11$ см, второй радиус обозначим $r$.
Шаг 2. При внешнем касании расстояние равно сумме радиусов: $d = 11 + r.$
Шаг 3. Подставляем известное значение и решаем уравнение: $18 = 11 + r \quad\Rightarrow\quad r = 18-11 = 7 \text{ см}.$
Шаг 4. При внешнем касании общих касательных всегда три.
Проверка. Сумма найденных радиусов: $11 + 7 = 18$ см — совпадает с данным расстоянием между центрами, значит, радиус найден верно.
Ответ: радиус второй окружности — $7$ см, общих касательных — три.
Типичные ошибки
Судят только по чертежу
Как ошибаются: делают вывод о расположении окружностей, просто взглянув на рисунок.
Как правильно: от руки невозможно точно выдержать заданные радиусы и расстояние между центрами, поэтому чертёж годится только как иллюстрация. Окончательный вывод должен опираться на сравнение чисел.
Путают внешнее и внутреннее касание
Как ошибаются: складывают радиусы там, где нужно вычитать, или наоборот.
Как правильно: чем дальше центры друг от друга, тем больше радиусы «работают на сложение» ($d = R + r$ — внешнее касание); чем ближе центры, тем радиусы «работают на вычитание» ($d = R-r$ — внутреннее касание).
Вычитают в неверном порядке
Как ошибаются: записывают разность как $r-R$, где $R$ больше $r$.
Как правильно: в разности радиусов из большего всегда вычитают меньший: $R-r$, где $R \ge r$. Иначе получится отрицательное расстояние, чего быть не может.
Сравнивают только с одним из двух чисел
Как ошибаются: проверяют, например, только $d$ и $R + r$, забывая про $R-r$, и делают неполный вывод.
Как правильно: пять случаев различаются сравнением сразу с обоими порогами — суммой и разностью радиусов. Пропуск одного из сравнений может привести к неверному выводу.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Радиусы равны $10$ см и $6$ см. Расстояние между центрами равно $16$ см. Как расположены окружности?
Задание 2. Радиусы равны $8$ см и $2$ см. Расстояние между центрами равно $5$ см. Пересекаются ли окружности?
Задание 3. Две окружности касаются внутренним образом. Радиус меньшей окружности равен $4$ см. Расстояние между центрами равно $9$ см. Найди радиус большей окружности.
Решение к заданию 1. Сумма радиусов равна $10 + 6 = 16$ см, и это совпадает с $d = 16$ см, то есть $d = R + r$.
Ответ: внешнее касание.
Решение к заданию 2. Разность радиусов равна $8-2 = 6$ см. Так как $d = 5$ см меньше $6$ см, выполняется $d < R-r$.
Ответ: окружности не пересекаются, меньшая лежит внутри большей без касания.
Решение к заданию 3. При внутреннем касании $d = R-r$. Подставляем данные: $9 = R-4$, откуда $R = 9 + 4 = 13$ см.
Ответ: радиус большей окружности — $13$ см.
Заключение
Теперь ты умеешь определять взаимное расположение двух окружностей по радиусам и расстоянию между центрами. Всё сводится к сравнению расстояния сразу с двумя числами: если $d = R + r$ — внешнее касание, если $d = R-r$ — внутреннее, если между ними — пересечение, если больше суммы — окружности вне друг друга, если меньше разности — одна внутри другой.
Два места, где чаще всего теряют ответ. Первое — перепутанные радиусы: перед вычислением разности нужно убедиться, что $R$ обозначает именно больший радиус. Второе — сравнение только с одним порогом вместо обоих: проверять нужно и сумму, и разность радиусов одновременно.
