Эта фигура часто встречается в задачах на углы, диагонали, периметр и свойства четырёхугольников. Ошибки обычно возникают из-за путаницы с квадратом и другим похожим четырёхугольником, у которого просто равны соседние стороны, но не все подряд. Разберём определение, свойства, признаки и типовые способы решения задач.
Определение
Главное в этом определении — связь с параллелограммом. Если известно, что перед нами такая фигура, значит, для неё выполняются все свойства параллелограмма:
- противоположные стороны попарно параллельны;
- противоположные углы равны;
- соседние углы в сумме дают $180^\circ$;
- диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Например, если $ABCD$ обладает этим свойством, то $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$, $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$, а точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ на две равные части.
Особые свойства
Кроме свойств параллелограмма, здесь есть два специальных свойства.
Условие
Дан четырёхугольник $ABCD$ с равными сторонами. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Нужно доказать, что $BO \perp AC$ и что $BD$ — биссектриса угла $B$.
Свойства диагоналей
Шаг 1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Все стороны фигуры равны, значит, $AB = BC$, поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный.
Шаг 2. Так как это параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит, точка $O$ — середина диагонали $AC$.
Шаг 3. Отрезок $BO$ соединяет вершину равнобедренного треугольника $ABC$ с серединой основания $AC$, то есть $BO$ — медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой и биссектрисой.
Шаг 4. Отсюда следует:
- $BO \perp AC$, значит, диагонали перпендикулярны;
- $BO$ делит угол $B$ пополам, значит, диагональ $BD$ — биссектриса угла $B$.
Аналогично доказывается, что диагонали делят пополам и остальные углы.
Признаки
Свойства помогают решать задачи, если уже известно, что перед нами фигура с равными сторонами. Признаки нужны, чтобы это доказать.
Основные признаки:
- Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это он.
- Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то это он.
- Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то это он.
- Если у четырёхугольника все четыре стороны равны, то это он.
При решении задач важно сначала проверить, что именно дано в условии. Если сказано только, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны, этого недостаточно для вывода: таким свойством может обладать и четырёхугольник, у которого равны лишь пары соседних сторон, а не все четыре.
Симметрия
У любого параллелограмма есть центр симметрии — точка пересечения диагоналей. Здесь он тоже есть.
Обычная такая фигура, не являющаяся квадратом, имеет две оси симметрии — они проходят по диагоналям. Если сложить рисунок по одной из диагоналей, соответствующие части совпадут.
Квадрат — частный случай этой фигуры. У него осей симметрии больше: две проходят по диагоналям, ещё две — через середины противоположных сторон.
Порядок решения задач
- Начерти фигуру и подпиши вершины.
- Отметь равные стороны одинаковыми штрихами.
- Проведи диагонали.
- В точке пересечения диагоналей поставь значок прямого угла.
- Отметь, что диагонали делят углы пополам.
- Найди на чертеже треугольники — часто это прямоугольные или равнобедренные треугольники.
- Применяй нужное свойство: сумму углов треугольника, теорему Пифагора, свойства параллелограмма или биссектрис.
Главная идея: диагонали почти всегда превращают задачу в задачу о треугольниках.
Разбор задач
Углы по диагонали
Условие
Одна из диагоналей равна стороне. Найдите градусные меры всех углов.
Рисунок к заданию 1
Шаг 1. Пусть дан четырёхугольник $ABCD$ с равными сторонами, а диагональ $BD$ равна стороне $AB$.
Шаг 2. Все стороны равны, значит, $AB = AD$. По условию $BD = AB$. Следовательно, $BD = AB = AD$.
Шаг 3. Рассмотрим треугольник $ABD$: у него все три стороны равны, значит, он равносторонний, и каждый его угол равен $60^\circ$. Значит, $\angle A = 60^\circ$.
Шаг 4. Соседние углы в сумме дают $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ-60^\circ = 120^\circ$.
Шаг 5. Противоположные углы равны, значит, $\angle C = 60^\circ$, $\angle D = 120^\circ$.
Ответ: $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.
Углы треугольника внутри фигуры
Условие
$ABCD$ — четырёхугольник с равными сторонами. Острый угол $A$ равен $36^\circ$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите углы треугольника $AOB$.
Рисунок к заданию 2
Шаг 1. Диагонали перпендикулярны, значит, $\angle AOB = 90^\circ$.
Шаг 2. Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$, поэтому $\angle OAB = 36^\circ : 2 = 18^\circ$.
Шаг 3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle ABO = 180^\circ-90^\circ-18^\circ = 72^\circ.$
Ответ: $90^\circ$, $18^\circ$, $72^\circ$.
Сторона по диагоналям
Условие
Диагонали равны $16$ и $12$. Найдите сторону.
Рисунок к заданию 3
Шаг 1. Диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, половины диагоналей равны $16 : 2 = 8$ и $12 : 2 = 6$.
Шаг 2. Диагонали перпендикулярны, поэтому половины диагоналей и искомая сторона образуют прямоугольный треугольник, где сторона — гипотенуза, а половины диагоналей — катеты.
Шаг 3. По теореме Пифагора: $a^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100.$
Шаг 4. Находим сторону: $a = \sqrt{100} = 10.$
Ответ: $10$.
Типичные ошибки
Путать с похожим четырёхугольником без параллельных сторон
Как ошибаются: делают вывод, что четырёхугольник имеет равные стороны, только потому что его диагонали перпендикулярны.
Как правильно: у такого четырёхугольника диагонали тоже могут пересекаться под прямым углом, но противоположные стороны у него не обязательно параллельны. Чтобы доказать равенство всех сторон, нужно использовать один из признаков.
Считать, что диагональ всегда образует со стороной угол $45^\circ$
Как ошибаются: предполагают, что этот угол всегда равен $45^\circ$.
Как правильно: диагональ делит угол при вершине пополам. Если этот угол равен $90^\circ$, половина действительно равна $45^\circ$, но это соответствует квадрату. В общем случае углы могут быть другими, и угол между диагональю и стороной тоже будет другим.
Использовать свойство как доказательство без основания
Как ошибаются: применяют свойства ещё до того, как доказано, что все стороны равны.
Как правильно: если в условии уже сказано, что стороны равны, свойства можно использовать сразу. Но если это ещё нужно доказать, свойства применять нельзя — сначала нужен один из признаков.
Забывать про свойства параллелограмма
Как ошибаются: ищут только «особые» свойства и упускают из виду обычные свойства параллелограмма.
Как правильно: эта фигура наследует все свойства параллелограмма. Если не получается найти угол напрямую, стоит проверить: противоположные углы равны, соседние в сумме дают $180^\circ$, противоположные стороны параллельны.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Чему равен угол между диагоналями?
Задание 2. Периметр равен $48$ см. Найдите длину одной стороны.
Задание 3. Угол между диагональю и стороной равен $25^\circ$. Найдите градусную меру тупого угла.
Решение к заданию 1. Диагонали всегда перпендикулярны.
Ответ: $90^\circ$.
Решение к заданию 2. Все четыре стороны равны, поэтому длина одной стороны равна $48 : 4 = 12$ см.
Ответ: $12$ см.
Решение к заданию 3. Диагональ делит угол пополам, значит, острый угол равен $25^\circ \cdot 2 = 50^\circ$. Соседние углы в сумме дают $180^\circ$, поэтому тупой угол равен $180^\circ-50^\circ = 130^\circ$.
Ответ: $130^\circ$.
Заключение
Теперь ты знаешь, что это параллелограмм с четырьмя равными сторонами. Чаще всего в задачах нужны три идеи: диагонали перпендикулярны, диагонали делят углы пополам, соседние углы в сумме дают $180^\circ$.
Чтобы не ошибаться, сначала проверь, что фигура действительно обладает нужными свойствами (по одному из признаков), и только потом применяй их. Не стоит путать её с похожим четырёхугольником без параллельных сторон — перпендикулярность диагоналей сама по себе ещё ничего не доказывает без параллельности сторон.
