В задачах на четырёхугольники нужно находить углы, опираясь на свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата и трапеции. Ошибки чаще всего возникают из-за путаницы между свойствами разных фигур и неверной суммы углов. Разберём, что такое четырёхугольник, из каких элементов он состоит, и как решать типовые задачи на эту тему.
Базовые понятия
Прежде чем решать задачи, стоит разобраться с терминами — без них легко выбрать не то свойство фигуры или неверно составить уравнение.
Что такое четырёхугольник
Фигура делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области. Чтобы правильно читать условия задач, полезно различать:
- соседние (смежные) стороны — выходят из одной общей вершины;
- противоположные стороны — не имеют общей вершины;
- соседние вершины — соединены одной стороной;
- противоположные вершины — стороной не соединены;
- диагональ — отрезок, соединяющий две противоположные вершины.
Выпуклость и сумма углов
Обычно рассматривают выпуклые многоугольники — те, что целиком лежат по одну сторону от прямой, проходящей через любую их сторону. Проще говоря, у выпуклой фигуры нет вмятин внутрь.
Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника находится по формуле: $S = (n-2) \cdot 180^{\circ}.$
У четырёхугольника четыре вершины, поэтому $n = 4$: $(4-2) \cdot 180^{\circ} = 2 \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}.$
Это главное правило темы: его используют, чтобы найти неизвестный угол или составить уравнение по условию задачи.
Основные виды четырёхугольников
- параллелограмм — противоположные стороны попарно параллельны;
- прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые ($90^{\circ}$);
- ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны;
- квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые;
- трапеция — четырёхугольник, у которого параллельна только одна пара противоположных сторон (их называют основаниями), а вторая пара сторон не параллельна.
Порядок решения задач
- Прочитать условие и сделать чертёж.
- Отметить на рисунке известные данные: углы, длины сторон, параллельность.
- Определить вид четырёхугольника и вспомнить его свойства — свойства параллелограмма отличаются от свойств ромба или трапеции.
- Записать формулу или теорему, связывающую известные и неизвестные величины.
- Составить уравнение, решить его и проверить ответ (обычно — сложением всех углов).
Разбор задач
Поиск неизвестного угла
Условие
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны три угла: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 110^{\circ}$, $\angle C = 90^{\circ}$. Найдите угол $D$.
Рисунок к заданию 1
Шаг 1. Записываем правило: сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}.$
Шаг 2. Подставляем данные из условия: $60^{\circ} + 110^{\circ} + 90^{\circ} + \angle D = 360^{\circ}.$
Шаг 3. Складываем известные углы: $60^{\circ} + 110^{\circ} + 90^{\circ} = 260^{\circ}$. Тогда $\angle D = 360^{\circ}-260^{\circ} = 100^{\circ}.$
Проверка. $60^{\circ} + 110^{\circ} + 90^{\circ} + 100^{\circ} = 360^{\circ}$ — сходится.
Ответ: $\angle D = 100^{\circ}$.
Углы параллелограмма
Условие
У параллелограмма $ABCD$ один из углов равен $45^{\circ}$. Найдите остальные углы.
Рисунок к заданию 2
Шаг 1. Вспоминаем свойства параллелограмма: противоположные углы равны, а соседние углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^{\circ}$.
Шаг 2. Находим противоположный угол. Пусть $\angle A = 45^{\circ}$, тогда $\angle C = 45^{\circ}.$
Шаг 3. Находим соседний угол. Углы $\angle A$ и $\angle B$ прилежат к стороне $AB$, поэтому $\angle B = 180^{\circ}-45^{\circ} = 135^{\circ}.$
Шаг 4. Угол $\angle D$ противоположен углу $\angle B$, значит $\angle D = 135^{\circ}.$
Проверка. $45^{\circ} + 135^{\circ} + 45^{\circ} + 135^{\circ} = 360^{\circ}.$
Ответ: остальные углы равны $135^{\circ}$, $45^{\circ}$ и $135^{\circ}$.
Задача с отношением углов
Условие
Углы выпуклого четырёхугольника относятся друг к другу как $1 : 2 : 3 : 4$. Вычислите градусную меру самого большого угла.
Рисунок к заданию 3
Шаг 1. Вводим переменную. Обозначим одну часть отношения через $x$, тогда углы равны $x$, $2x$, $3x$, $4x$.
Шаг 2. Используем сумму углов четырёхугольника: $x + 2x + 3x + 4x = 360^{\circ}.$
Шаг 3. Решаем уравнение: $10x = 360^{\circ} \quad\Rightarrow\quad x = 36^{\circ}.$
Шаг 4. Находим самый большой угол — он соответствует $4x$: $4 \cdot 36^{\circ} = 144^{\circ}.$
Проверка. Остальные углы равны $36^{\circ}$, $72^{\circ}$, $108^{\circ}$, и $36^{\circ} + 72^{\circ} + 108^{\circ} + 144^{\circ} = 360^{\circ}.$
Ответ: наибольший угол равен $144^{\circ}$.
Типичные ошибки
Использовать сумму $180^{\circ}$ вместо $360^{\circ}$
Как ошибаются: ищут четвёртый угол четырёхугольника через сумму $180^{\circ}$.
Как правильно: сумма $180^{\circ}$ относится к углам треугольника. У четырёхугольника сумма внутренних углов равна $360^{\circ}$.
Переносить свойства одной фигуры на другую
Как ошибаются: считают, что у любого ромба все углы равны $90^{\circ}$.
Как правильно: у ромба равны только стороны, а прямые углы гарантированы лишь у прямоугольника и квадрата. Ромб с прямыми углами — частный случай, совпадающий с квадратом.
Путать, какие углы параллелограмма складываются, а какие равны
Как ошибаются: складывают противоположные углы параллелограмма и приравнивают их к $180^{\circ}$.
Как правильно: у параллелограмма равны именно противоположные углы, а в сумме $180^{\circ}$ дают соседние углы, прилежащие к одной стороне. Например, если $\angle A = 50^{\circ}$, то $\angle C = 50^{\circ}$, а $\angle B = \angle D = 180^{\circ}-50^{\circ} = 130^{\circ}$.
Не проверять сумму углов
Как ошибаются: записывают ответ, не складывая найденные углы обратно.
Как правильно: сумма всех четырёх углов должна равняться $360^{\circ}$. Например, углы $100^{\circ}$, $120^{\circ}$, $90^{\circ}$ и $60^{\circ}$ в сумме дают $370^{\circ}$ — такой ответ для выпуклого четырёхугольника не подходит, значит, где-то есть ошибка.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Сколько градусов составляет сумма углов ромба?
Задание 2. Прямоугольник является параллелограммом. Верно ли это утверждение?
Задание 3. Один из углов параллелограмма равен $120^{\circ}$. Найдите величину угла, который прилежит к той же стороне.
Задание 4 (повышенный уровень). Найдите углы четырёхугольника, если они описываются выражениями $x$, $2x$, $x + 20^{\circ}$, $2x-20^{\circ}$.
Решение к заданию 1. Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$, ромб не исключение.
Ответ: $360^{\circ}$.
Решение к заданию 2. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма (противоположные стороны параллельны) и дополнительно имеет прямые углы.
Ответ: верно.
Решение к заданию 3. Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^{\circ}$: $180^{\circ}-120^{\circ} = 60^{\circ}.$
Ответ: $60^{\circ}$.
Решение к заданию 4. Складываем все четыре выражения и приравниваем сумму к $360^{\circ}$: $x + 2x + (x + 20^{\circ}) + (2x-20^{\circ}) = 360^{\circ}.$
Слагаемые $+20^{\circ}$ и $-20^{\circ}$ взаимно уничтожаются: $6x = 360^{\circ} \quad\Rightarrow\quad x = 60^{\circ}.$
Находим каждый угол:
$x = 60^\circ,$
$2x = 120^\circ,$
$x + 20^\circ = 80^\circ,$
$2x — 20^\circ = 100^\circ.$
Рисунок к заданию 4
Проверка: $60^{\circ} + 120^{\circ} + 80^{\circ} + 100^{\circ} = 360^{\circ}.$
Ответ: $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $80^{\circ}$, $100^{\circ}$.
Заключение
Теперь ты умеешь находить углы четырёхугольников и проверять решение через сумму углов. Четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Главное правило темы: сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$.
Два места, где чаще всего теряют ответ. Первое — подмена $360^{\circ}$ на $180^{\circ}$: эта сумма относится к треугольнику, а не к четырёхугольнику. Второе — свойства параллелограмма: противоположные углы равны, а соседние — в сумме дают $180^{\circ}$, и путать эти два правила местами нельзя. После решения любой задачи полезно сложить все найденные углы — если сумма не $360^{\circ}$, значит, где-то допущена ошибка.
