Свойства и признаки параллелограмма нужны в задачах на углы, стороны, площади и доказательство вида четырёхугольника. Ошибки часто возникают из-за смешения двух разных идей: что можно использовать, если фигура уже названа параллелограммом, и по каким данным можно доказать, что она им является. Разберём определение, основные свойства, признаки и типичные задачи.
Что такое параллелограмм
Любой параллелограмм обладает четырьмя основными свойствами:
- Стороны, лежащие напротив друг друга, имеют одинаковую длину: $AB = CD$, $BC = AD$.
- Углы при противоположных вершинах совпадают по величине: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
- Два угла, стоящих у концов одной стороны, вместе дают развёрнутый угол: $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Поэтому, зная один из них, второй находят вычитанием.
- Диагонали в точке пересечения делятся на равные половины: $AO = OC$, $BO = OD$. Эта точка служит серединой сразу для обеих диагоналей.
Разберём доказательство четвёртого свойства.
Условие
Дан параллелограмм $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Нужно доказать, что $AO = OC$ и $BO = OD$.
Диагонали параллелограмма
Шаг 1. Точка пересечения делит фигуру на четыре треугольника. Возьмём из них два, лежащих напротив друг друга: $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.
Шаг 2. Найдём у них равные элементы. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ — это противоположные стороны параллелограмма. Дальше работаем с параллельными прямыми $AB$ и $CD$: диагональ $AC$ пересекает их и даёт пару накрест лежащих углов $\angle OAB = \angle OCD$, а диагональ $BD$ — ещё одну пару, $\angle OBA = \angle ODC$.
Шаг 3. Итого у треугольников совпали сторона и два угла, прилежащих к ней, — этого достаточно для их равенства. А у равных треугольников равны и все соответственные стороны, откуда сразу получаем $AO = OC$ и $BO = OD$.
Свойство доказано.
Частные случаи параллелограмма
Среди параллелограммов есть фигуры с дополнительными свойствами:
- Прямоугольник — все углы прямые ($90^\circ$), а диагонали равны.
- Ромб — все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и служат биссектрисами углов.
- Квадрат — объединяет свойства прямоугольника и ромба.
Чем свойства отличаются от признаков
Существует три основных признака параллелограмма.
Первый признак. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Условие
В четырёхугольнике $ABCD$ сторона $AB$ параллельна стороне $CD$ и равна ей по длине.
Первый признак
Шаг 1. Соединим вершины $A$ и $C$. Полученная диагональ делит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.
Шаг 2. Сравним эти треугольники. Диагональ $AC$ входит в оба, то есть является для них общей стороной. Стороны $AB$ и $CD$ равны по условию. Наконец, углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны: диагональ $AC$ пересекает параллельные прямые $AB$ и $CD$, а такие углы — накрест лежащие. Получается, у треугольников совпали две стороны и угол между ними, значит, они равны.
Шаг 3. Раз треугольники равны, равны и все их соответственные элементы — в частности, $\angle BCA = \angle DAC$. Эта пара углов тоже накрест лежащая, но уже для прямых $BC$ и $AD$ при секущей $AC$. Равенство накрест лежащих углов означает, что $BC \parallel AD$.
Шаг 4. Теперь параллельность доказана для обеих пар противоположных сторон: $AB \parallel CD$ было дано, $BC \parallel AD$ мы получили. По определению это и есть параллелограмм.
Второй признак. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм: $AB = CD$, $BC = AD$.
Третий признак. Если диагонали четырёхугольника при пересечении делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Порядок решения задач
- Начерти крупный и понятный чертёж.
- Отметь равные отрезки штрихами, а известные углы подпиши числами.
- Проверь, названа ли фигура параллелограммом в условии.
- Если фигура уже является параллелограммом, выпиши нужные свойства.
- Если её вид ещё нужно доказать, ищи подходящий признак.
- Проведи дополнительную линию, если данных не хватает, — чаще всего помогает диагональ.
- Запиши уравнение или вычисление на основе свойств фигуры.
Разбор задач
Задача на углы
Условие
В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $40^\circ$. Найдите остальные углы.
Рисунок к заданию 1
Шаг 1. Противоположные углы параллелограмма равны. Угол $C$ находится напротив угла $A$, значит, $\angle C = 40^\circ$.
Шаг 2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$, поэтому $\angle B = 180^\circ-40^\circ = 140^\circ$.
Шаг 3. Угол $D$ находится напротив угла $B$, значит, $\angle D = 140^\circ$.
Ответ: $\angle B = 140^\circ$, $\angle C = 40^\circ$, $\angle D = 140^\circ$.
Задача на периметр
Условие
Периметр параллелограмма равен $48$ см. Найдите его стороны, если известно, что одна из них на $6$ см больше другой.
Рисунок к заданию 2
Шаг 1. Пусть меньшая сторона равна $x$ см, тогда большая равна $x + 6$ см.
Шаг 2. В параллелограмме противоположные стороны попарно равны, значит, у фигуры две стороны по $x$ см и две — по $x + 6$ см.
Шаг 3. Составляем уравнение по периметру: $2x + 2(x + 6) = 48$.
Шаг 4. Решаем уравнение: $2x + 2x + 12 = 48$, откуда $4x = 36$ и $x = 9$.
Шаг 5. Меньшая сторона равна $9$ см, большая — $9 + 6 = 15$ см.
Проверка: $2 \cdot 9 + 2 \cdot 15 = 18 + 30 = 48$ см — сходится.
Ответ: $9$ см и $15$ см.
Задача на площадь
Условие
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $68$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.
Рисунок к заданию 3
Шаг 1. Проведём диагональ $BD$. Она делит параллелограмм на два равных треугольника $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$, поэтому площадь каждого равна половине площади параллелограмма: $68 : 2 = 34$.
Шаг 2. В треугольнике $\triangle ABD$ точка $E$ — середина стороны $AD$, значит, отрезок $BE$ — медиана.
Шаг 3. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади, поэтому $34 : 2 = 17$.
Ответ: $17$.
Типичные ошибки
Подменять признак свойством
Как ошибаются: пытаются доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, одной лишь фразой «у него противоположные углы равны», не опираясь на конкретный признак.
Как правильно: ссылаться нужно на изученные признаки — равенство и параллельность одной пары противоположных сторон, попарное равенство противоположных сторон или деление диагоналей пополам.
Принимать диагональ за биссектрису
Как ошибаются: считают, что диагональ параллелограмма делит его угол пополам.
Как правильно: в обычном параллелограмме диагональ не обязана быть биссектрисой — это свойство есть только у ромба и квадрата. Если в условии не сказано, что фигура — ромб или квадрат, автоматически считать диагональ биссектрисой нельзя.
Считать диагонали равными
Как ошибаются: приравнивают $AC$ и $BD$ в произвольном параллелограмме.
Как правильно: в обычном параллелограмме диагонали не обязаны быть равными — они равны только у прямоугольника и квадрата. Без указания на эти частные случаи приравнивать диагонали нельзя.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Известно, что у четырёхугольника углы, прилежащие к одной стороне, равны $60^\circ$ и $120^\circ$. Можно ли утверждать, что это точно параллелограмм?
Задание 2. В четырёхугольнике диагонали равны $14$ и $20$. Они пересекаются так, что одна диагональ делится на отрезки $7$ и $7$, а другая — на отрезки $10$ и $10$. Какая это фигура?
Решение к заданию 1. Сумма данных углов равна $180^\circ$, а это лишь означает, что одна пара противоположных сторон параллельна. Для параллелограмма нужны обе пары, поэтому одних этих данных недостаточно.
Ответ: нет, нельзя утверждать наверняка — нужны дополнительные данные.
Решение к заданию 2. Отрезки диагоналей равны между собой ($7 = 7$ и $10 = 10$), значит, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это третий признак параллелограмма.
Ответ: это параллелограмм.
Заключение
Теперь ты знаешь, когда использовать свойства параллелограмма, а когда — его признаки. Свойства помогают находить стороны, углы, диагонали и площади внутри уже известной фигуры. Признаки нужны, чтобы доказать, что четырёхугольник вообще является параллелограммом.
Чаще всего ошибаются из-за лишних допущений: считают диагонали равными или принимают диагональ за биссектрису без всяких оснований. Прежде чем пользоваться таким «дополнительным» свойством, стоит проверить, действительно ли фигура — прямоугольник, ромб или квадрат, а не просто параллелограмм общего вида.
