Три угла любого треугольника всегда дают в сумме одно и то же число — $180°$. Из этого короткого факта вырастает почти вся тема: по двум величинам находится третья, у прямоугольного треугольника острые дополняют друг друга до $90°$, а два тупых в одной фигуре невозможны в принципе. Разберём теорему, её следствия и приёмы, которые ускоряют решение.
Основная теорема
Слово «любого» здесь принципиально: правило не зависит ни от размеров, ни от формы фигуры.
Откуда берётся $180°$
Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную стороне $AC$. Стороны $AB$ и $BC$ работают как секущие, поэтому при них образуются накрест лежащие углы — равные тем, что стоят при вершинах $A$ и $C$.
Все три угла при вершине $B$ вместе составляют развёрнутый, а он равен $180°$. Значит, столько же дают и три угла треугольника.
Следствия
Из теоремы сразу вытекают три полезных факта.
В треугольнике не может быть двух прямых углов. Они заняли бы все $180°$, и на третий не осталось бы ничего.
Не может быть и двух тупых — вместе они дали бы больше $180°$.
У прямоугольного треугольника острые углы в сумме дают $90°$, потому что прямой уже забрал вторую половину.
Виды треугольников
| Вид | Углы |
|---|---|
| Остроугольный | все три меньше $90°$ |
| Прямоугольный | один равен $90°$, два других острые |
| Тупоугольный | один больше $90°$, два других острые |
Обрати внимание: в двух последних случаях оставшиеся обязаны быть острыми — это прямое следствие теоремы.
У прямоугольного треугольника стороны имеют собственные имена. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой, две другие — катетами.
Внешний угол
Получают его продолжением одной из сторон за вершину. Со смежным внутренним он даёт $180°$ — это следует прямо из определения смежных углов.
Проверить это легко. Пусть внешний построен при вершине $B$. Тогда он равен $180°-\angle B$. А сумма двух других внутренних тоже равна $180°-\angle B$, ведь все три вместе дают $180°$. Величины совпали.
Отсюда следует ещё одно наблюдение: внешний угол больше каждого из двух не смежных с ним внутренних. Ведь он равен их сумме, а слагаемое всегда меньше суммы.
Алгоритм решения задач
- Сделай чертёж и перенеси на него все данные: известные величины отметь дугами, равные стороны — засечками.
- Найди скрытую информацию. Слово «равнобедренный» означает равенство при основании, слово «биссектриса» — что угол разделён пополам.
- Выбери треугольник, в котором известно больше всего, и запиши для него сумму углов.
- Составь уравнение и реши его.
- Проверь ответ: сложи все три внутренних, должно получиться ровно $180°$.
Второй шаг пропускать нельзя — именно там прячутся данные, без которых уравнение не составится.
Разбор задач
Равнобедренный треугольник
Условие
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $118°$, стороны $AC$ и $BC$ равны. Найди угол $A$.
Шаг 1. Определяем вид треугольника. Две стороны равны, значит, он равнобедренный.
Шаг 2. Находим основание. Равны стороны $AC$ и $BC$ — они боковые, поэтому основание — сторона $AB$.
Шаг 3. Определяем, что чему равно. К основанию прилежат $\angle A$ и $\angle B$, значит, они равны между собой. А $\angle C$ лежит между боковыми сторонами — это угол при вершине.
Шаг 4. Записываем сумму и заменяем $\angle B$ на $\angle A$: $2 \cdot \angle A + 118° = 180°$.
Шаг 5. Решаем: $2 \cdot \angle A = 62°$, откуда $\angle A = 31°$.
Рисунок к заданию 1
Проверка. Складываем всё: $31° + 31° + 118° = 180°$. Сходится. Заодно заметим, что тупой оказался при вершине, — иначе двух тупых не избежать.
Ответ: $\angle A = 31°$.
Биссектриса
Условие
В треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ — биссектриса. Угол $C$ равен $41°$, угол $BAD$ равен $69°$. Найди угол $ADB$.
Шаг 1. Извлекаем информацию из слова «биссектриса». Отрезок $AD$ делит $\angle A$ на две равные части, поэтому $\angle DAC = \angle BAD = 69°$.
Шаг 2. Выбираем рабочий треугольник. В $ADC$ теперь известны две величины: $\angle DAC = 69°$ и $\angle C = 41°$.
Шаг 3. Находим третью: $\angle ADC = 180°-69°-41° = 70°$.
Шаг 4. Переходим к искомой. Углы $ADB$ и $ADC$ смежные, потому что точка $D$ лежит на стороне $BC$: $\angle ADB = 180°-70° = 110°$.
Рисунок к заданию 2
Короткий путь. Угол $ADB$ — внешний для треугольника $ADC$, поэтому равен сумме двух не смежных с ним внутренних: $69° + 41° = 110°$. Тот же ответ за одно действие.
Проверка. Найдём величины в треугольнике $ABD$: $\angle BAD = 69°$, $\angle ADB = 110°$, тогда $\angle B = 180°-69°-110° = 1°$.
Получилось подозрительно мало, но противоречия нет: при таком остром $\angle B$ треугольник просто сильно вытянут. Для исходной фигуры сумма тоже сходится: $138° + 1° + 41° = 180°$.
Ответ: $\angle ADB = 110°$.
Внешний угол
Условие
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $40°$, а внешний угол при вершине $B$ равен $102°$. Найди угол $C$.
Шаг 1. Определяем, что дано. При вершине $A$ дана внутренняя величина, а при вершине $B$ — внешняя. Путать их нельзя.
Шаг 2. Выбираем правило. Внешний при вершине $B$ равен сумме внутренних, не смежных с ним, то есть при вершинах $A$ и $C$.
Шаг 3. Составляем уравнение: $102° = 40° + \angle C$.
Шаг 4. Находим: $\angle C = 102°-40° = 62°$.
Рисунок к заданию 3
Проверка. Внутренний при вершине $B$ равен $180°-102° = 78°$. Сложим все три внутренних: $40° + 78° + 62° = 180°$. Верно.
Ответ: $\angle C = 62°$.
Типичные ошибки
Включают внешний угол в сумму $180°$
Как ошибаются: складывают внешнюю величину с внутренними и приравнивают результат к $180°$.
Как правильно: до $180°$ дополняют друг друга только три внутренних. Внешний в эту сумму не входит — у него своё правило.
Определяют величину по чертежу
Как ошибаются: считают угол прямым, потому что он таким выглядит на рисунке.
Как правильно: использовать только то, что дано в условии или доказано. Чертёж помогает рассуждать, но сам по себе ничего не доказывает.
Делят остаток пополам, не проверив условие
Как ошибаются: вычитают известную величину из $180°$ и автоматически делят результат на два.
Как правильно: так можно поступать, только если два оставшихся действительно равны. Сначала выясняют, какие стороны равны и какая из них основание, — и лишь потом делят.
Ошибаются в арифметике
Как ошибаются: выстраивают верное рассуждение, но сбиваются при вычитании из $180°$.
Как правильно: проверять сложением. Три найденных внутренних обязаны дать ровно $180°$ — эта проверка ловит почти любую вычислительную ошибку.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $35°$. Найди второй.
Задание 2. Два угла треугольника равны $45°$ и $60°$. Найди третий.
Задание 3. Внешний угол при вершине $A$ равен $120°$, один из не смежных с ним внутренних равен $50°$. Найди второй.
Задание 4. Углы треугольника относятся как $1 : 2 : 3$. Найди каждый.
Задание 5. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен $40°$. Найди угол при вершине.
Задание 6. Может ли в треугольнике быть два тупых угла? А два прямых?
Решение к заданию 1. Острые в прямоугольном треугольнике дают в сумме $90°$: $90°-35° = 55°$.
Проверка: $90° + 35° + 55° = 180°$.
Ответ: $55°$.
Решение к заданию 2. Вычитаем известные из общей суммы: $180°-45°-60° = 75°$.
Ответ: $75°$.
Решение к заданию 3. Внешний равен сумме двух не смежных внутренних: $120° = 50° + x$, откуда $x = 70°$.
Ответ: $70°$.
Решение к заданию 4. Обозначим одну часть через $x$. Тогда величины равны $x$, $2x$ и $3x$.
Составляем уравнение: $x + 2x + 3x = 180°$, то есть $6x = 180°$ и $x = 30°$.
Получаем $30°$, $60°$ и $90°$. Проверка: $30 + 60 + 90 = 180$. Заодно видно, что треугольник прямоугольный.
Ответ: $30°$, $60°$, $90°$.
Решение к заданию 5. При основании величины равны, поэтому вторая тоже составляет $40°$, а вместе они дают $80°$.
На вершину остаётся: $180°-80° = 100°$.
Проверка: $40° + 40° + 100° = 180°$.
Ответ: $100°$.
Решение к заданию 6. Два тупых дали бы в сумме больше $180°$, и на третий не осталось бы ничего. Два прямых заняли бы ровно $180°$ — снова для третьего места нет.
Ответ: нет, ни того ни другого быть не может.
Заключение
Теперь ты умеешь находить неизвестные углы треугольника, работать с равнобедренными фигурами, биссектрисой и внешним углом. В основе всего одно равенство: три внутренних дают ровно $180°$.
Из него же выводятся все остальные факты темы. У прямоугольного треугольника острые дополняют друг друга до $90°$. Двух тупых или двух прямых в треугольнике не бывает. А внешний равен сумме двух не смежных с ним внутренних, поэтому часто даёт решение за одно действие вместо двух.
Перед составлением уравнения обязательно вытащи скрытые данные из условия: равные стороны означают равенство при основании, биссектриса делит угол пополам. И всегда проверяй ответ сложением — сумма трёх найденных обязана дать $180°$. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем про подобие треугольников и тригонометрию.
