Три произвольных отрезка не всегда складываются в треугольник — если один слишком длинный, два других просто не дотянутся друг до друга. А если треугольник существует, его стороны и углы связаны жёстким соответствием: где сторона длиннее, там и угол напротив больше. Два этих правила и составляют тему. Разберём их, научимся проверять существование фигуры и находить границы для неизвестной стороны.
Связь сторон и углов
Правило работает в обе стороны. Знаешь стороны — можешь расставить углы по величине. Знаешь углы — можешь сравнить стороны, даже не измеряя их.
Порядок при этом сохраняется полностью: самая длинная сторона даёт самый большой угол, самая короткая — самый маленький, средняя — средний.
Проще всего убедиться в этом на прямоугольном треугольнике. Прямой угол там самый большой: на два оставшихся приходится вместе тоже $90°$, поэтому каждый из них меньше. Значит, и сторона напротив прямого угла — гипотенуза — длиннее любого катета.
Как найти сторону напротив угла
В задачах эта операция нужна постоянно, поэтому стоит проговорить её отдельно.
Сторона лежит напротив того угла, вершина которого в неё не входит. Скажем, в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ соединяет вершины $A$ и $B$, значит, напротив неё лежит угол $C$ — единственный оставшийся.
Неравенство треугольника
Для сторон $a$, $b$ и $c$ должны выполняться три условия одновременно:
$a < b + c$,
$b < a + c$,
$c < a + b$.
Нарушено хотя бы одно — треугольника не существует.
Достаточно одной проверки
Почему этого хватает? Любая другая сторона меньше самой длинной, а сумма, с которой её сравнивают, эту длинную сторону в себя включает. Значит, для коротких сторон неравенство выполняется заведомо, проверять их незачем.
Вырожденный случай
Знак в неравенстве строгий, и это принципиально.
Если самая длинная сторона равна сумме двух других, они лягут вдоль неё, и все три точки окажутся на одной прямой. Получится отрезок, а не фигура. Такой случай называют вырожденным, и треугольником он не является.
Границы для третьей стороны
Верхняя граница — прямое следствие неравенства треугольника. Нижняя получается из него же, если применить правило к другой стороне.
Разность берут по модулю, то есть из большей стороны вычитают меньшую: длина отрицательной не бывает.
Алгоритм решения задач
- Выпиши известные величины — длины сторон или градусные меры углов.
- Определи, что требуется: сравнить углы, проверить существование фигуры или найти границы стороны.
- Для сравнения углов расставь стороны по величине и найди углы напротив них.
- Для проверки существования найди наибольшую сторону и сравни её с суммой двух остальных.
- Для поиска границ примени двойное неравенство с разностью и суммой.
- Проверь ответ по смыслу: длина стороны положительна, сумма углов равна $180°$, гипотенуза длиннее катетов.
Разбор задач
Наибольший и наименьший углы
Условие
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $AC = 12$ см. Назови наибольший и наименьший углы.
Шаг 1. Проверим, существует ли такой треугольник. Наибольшая сторона равна $12$, сумма двух других составляет $6 + 8 = 14$. Неравенство $12 < 14$ верно — фигура существует.
Шаг 2. Находим наибольшую сторону: это $AC = 12$ см.
Шаг 3. Определяем угол напротив неё. Сторона $AC$ соединяет вершины $A$ и $C$, значит, напротив лежит угол $B$. По правилу связи сторон и углов он наибольший.
Шаг 4. Находим наименьшую сторону: это $AB = 6$ см.
Шаг 5. Напротив неё лежит угол $C$ — оставшаяся вершина. Значит, он наименьший.
Проверка. Расставим все стороны по возрастанию: $AB = 6$, $BC = 8$, $AC = 12$. Тогда углы идут в том же порядке: $\angle C < \angle A < \angle B$.
Ответ: наибольший угол $\angle B$, наименьший $\angle C$.
Существует ли треугольник
Условие
Можно ли построить треугольник со сторонами $4$ см, $5$ см и $10$ см?
Шаг 1. Находим наибольшую сторону — это $10$ см.
Шаг 2. Складываем две оставшиеся: $4 + 5 = 9$ см.
Шаг 3. Сравниваем: неравенство $10 < 9$ неверно.
Шаг 4. Делаем вывод. Двух коротких сторон не хватает, чтобы соединить концы длинной, — они короче её на сантиметр.
Ответ: такой треугольник построить нельзя.
Периметр равнобедренного треугольника
Условие
Две стороны равнобедренного треугольника равны $7$ см и $15$ см. Найди его периметр.
Шаг 1. Разбираем условие. Треугольник равнобедренный, значит, две стороны совпадают. Третья равна либо $7$ см, либо $15$ см — других вариантов нет.
Шаг 2. Проверяем первый вариант: стороны $7$, $7$ и $15$. Наибольшая равна $15$, сумма двух других составляет $7 + 7 = 14$.
Неравенство $15 < 14$ неверно, значит, такого треугольника не существует.
Шаг 3. Проверяем второй вариант: стороны $7$, $15$ и $15$. Наибольшая равна $15$, сумма двух других составляет $7 + 15 = 22$.
Неравенство $15 < 22$ верно, треугольник существует.
Шаг 4. Считаем периметр подошедшего варианта: $P = 7 + 15 + 15 = 37$ см.
Рисунок к заданию
Проверка. Первый вариант отсеялся, поэтому ответ единственный. Если бы прошли оба, ответов тоже было бы два.
Ответ: $P = 37$ см.
Типичные ошибки
Проверяют все три неравенства
Как ошибаются: тратят время на три сравнения и путаются в знаках.
Как правильно: сравнивать с суммой только наибольшую сторону. Для набора $6$, $8$ и $12$ достаточно проверить $12 < 6 + 8$: неравенство $12 < 14$ верно, треугольник существует.
Считают равенство допустимым
Как ошибаются: решают, что при $10 = 5 + 5$ треугольник получится.
Как правильно: знак строгий. При равенстве отрезки лягут на одну прямую, и вместо фигуры выйдет отрезок — вырожденный случай.
Считают периметр, не проверив варианты
Как ошибаются: видят в условии равнобедренного треугольника две длины и сразу складывают.
Как правильно: повторяться может любая из них, поэтому проверяют оба набора. Для сторон $4$ см и $9$ см нельзя сразу писать ни $4 + 4 + 9$, ни $4 + 9 + 9$ — сначала неравенство треугольника.
Путают гипотенузу с катетом
Как ошибаются: считают гипотенузой любую сторону прямоугольного треугольника.
Как правильно: гипотенуза лежит напротив прямого угла и потому длиннее катетов — это прямое следствие правила связи сторон и углов.
Берут отрицательную разность
Как ошибаются: при поиске границ вычитают из меньшей стороны большую.
Как правильно: разность берут по модулю, из большей вычитают меньшую. Нижняя граница обязана быть положительной.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Существует ли треугольник со сторонами $8$ м, $3$ м и $4$ м?
Задание 2. В треугольнике $MNP$ известно: $\angle M = 70°$, $\angle N = 50°$, $\angle P = 60°$. Какая сторона самая короткая?
Задание 3. Стороны треугольника равны $1{,}4$ см, $3{,}8$ см и $x$ см. Найди все целые значения $x$.
Задание 4. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ самая длинная. Какой угол наибольший?
Задание 5. Существует ли треугольник со сторонами $7$, $7$ и $14$?
Решение к заданию 1. Наибольшая сторона равна $8$ м, сумма двух других составляет $3 + 4 = 7$ м.
Неравенство $8 < 7$ неверно.
Ответ: не существует.
Решение к заданию 2. Наименьший угол — $\angle N = 50°$. Напротив него лежит сторона, соединяющая две другие вершины, то есть $MP$.
Ответ: сторона $MP$.
Решение к заданию 3. Применяем правило границ. Сумма известных сторон равна $1{,}4 + 3{,}8 = 5{,}2$, разность равна $3{,}8-1{,}4 = 2{,}4$.
Получаем двойное неравенство: $2{,}4 < x < 5{,}2$.
Целые числа в этом промежутке: $3$, $4$ и $5$.
Проверим крайние. При $x = 3$: наибольшая сторона $3{,}8$, сумма двух других $1{,}4 + 3 = 4{,}4$ — верно. При $x = 5$: наибольшая сторона $5$, сумма двух других $1{,}4 + 3{,}8 = 5{,}2$ — тоже верно.
Ответ: $3$ см, $4$ см, $5$ см.
Решение к заданию 4. Напротив стороны $BC$ лежит угол $A$ — та вершина, которая в неё не входит. По правилу связи сторон и углов он и будет наибольшим.
Ответ: $\angle A$.
Решение к заданию 5. Наибольшая сторона равна $14$, сумма двух других тоже равна $7 + 7 = 14$.
Получилось равенство, а не строгое неравенство.
Ответ: не существует, это вырожденный случай.
Заключение
Теперь ты умеешь сравнивать углы по сторонам и наоборот, проверять существование треугольника и находить границы для неизвестной стороны. Связь сторон и углов работает в обе стороны: где сторона длиннее, там угол напротив больше.
Существование проверяется одним действием — наибольшая сторона сравнивается с суммой двух остальных. Знак строгий: при равенстве получается вырожденный случай, отрезок вместо фигуры.
Если известны две стороны, третья лежит между их разностью и суммой: $|a-b| < c < a + b$. А в задачах про равнобедренный треугольник всегда перебирай оба варианта — иногда один из них отсеивается неравенством, как в разборе с $7$ и $15$. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для теоремы Пифагора и решения треугольников.
