Прямоугольный треугольник устроен так, что по одной величине часто находятся остальные. Знаешь один острый угол — второй вычисляется вычитанием. Есть угол $30°$ — катет напротив него равен половине гипотенузы. Главное здесь не запутаться в том, какая сторона напротив какой вершины: почти все ошибки растут именно отсюда. Разберём свойства и научимся применять их по шагам.
Основные понятия
Почему они острые? Сумма всех углов равна $180°$, прямой занимает $90°$, значит, на два других вместе приходится тоже $90°$. Каждый меньше этой суммы, а потому меньше прямого.
Гипотенуза всегда длиннее любого катета. Это следует из общего правила: напротив большего угла лежит бо́льшая сторона, а прямой здесь самый крупный.
Как найти гипотенузу на чертеже
Определять её по положению на листе нельзя — треугольник бывает повёрнут как угодно.
Порядок такой: сначала находишь прямой угол, отмеченный квадратиком, затем смотришь, какая сторона его не касается. Она и есть гипотенуза. Две стороны, сходящиеся в прямом углу, — катеты.
Свойства
Сумма острых углов
Свойство выводится за одно действие: $180°-90° = 90°$. Значит, зная один острый, второй находят вычитанием.
Катет напротив угла $30°$
При гипотенузе $14$ такой катет равен $14 : 2 = 7$.
Слово «напротив» решает всё. Прилежащий катет никакого простого соотношения с гипотенузой не имеет — к нему правило неприменимо, и найти его в седьмом классе нельзя.
Прямое свойство ищет сторону по градусной мере, обратное — градусную меру по сторонам.
Признаки равенства
Прямоугольные треугольники равны в четырёх случаях:
- по двум катетам;
- по катету и прилежащему острому углу;
- по гипотенузе и острому углу;
- по гипотенузе и катету.
Прямой угол в этих признаках уже учтён, поэтому достаточно двух совпадающих элементов вместо трёх.
Алгоритм решения задач
- Сделай крупный чертёж и отметь прямой угол квадратиком.
- Перенеси на него все данные из условия.
- Найди гипотенузу: она не касается вершины с прямым углом.
- Определи, что дано и что требуется. Известна градусная мера острого — работает правило суммы. Есть $30°$ — проверь, какой катет лежит напротив.
- Выполни вычисление, называя применяемое свойство.
- Проверь ответ по смыслу: гипотенуза длиннее катетов, сумма всех углов равна $180°$.
Разбор задач
Второй острый угол
Условие
В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $37°$. Найди второй.
Шаг 1. Применяем свойство: два острых в сумме дают $90°$.
Шаг 2. Вычитаем известную величину: $90°-37° = 53°$.
Рисунок к заданию 1
Проверка. Складываем все три: $90° + 37° + 53° = 180°$. Сходится, и оба найденных меньше прямого.
Ответ: $53°$.
Катет по гипотенузе
Условие
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $14$, один из углов равен $30°$. Найди катет напротив него.
Шаг 1. Проверяем условие. В задаче прямо сказано, что нужен катет напротив $30°$ — значит, правило применимо.
Шаг 2. Применяем свойство: такой катет равен половине гипотенузы.
Шаг 3. Делим: $14 : 2 = 7$.
Рисунок к заданию 2
Проверка. Катет получился короче гипотенузы: $7 < 14$. Найдём заодно второй острый: $90°-30° = 60°$ — треугольник существует.
Ответ: $7$.
Задача с внешним углом
Условие
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ внешний угол при вершине $A$ равен $120°$, сторона $AB = 18$. Найди $AC$.
Шаг 1. Находим внутреннюю величину при вершине $A$. Внешний и внутренний смежные, поэтому в сумме дают $180°$: $180°-120° = 60°$.
Шаг 2. Находим величину при вершине $B$. Два острых дают $90°$, значит: $90°-60° = 30°$.
Шаг 3. Определяем стороны. Прямой угол при вершине $C$, поэтому гипотенуза — сторона $AB$, не касающаяся этой вершины. Катеты — $AC$ и $BC$.
Шаг 4. Проверяем расположение. Сторона $AC$ соединяет вершины $A$ и $C$, значит, напротив неё лежит вершина $B$ — та самая, где $30°$. Правило применимо.
Шаг 5. Применяем свойство: $AC = 18 : 2 = 9$.
Рисунок к заданию 3
Проверка. Катет короче гипотенузы: $9 < 18$. И он лежит напротив меньшего из острых, что согласуется с правилом связи сторон и углов.
Ответ: $AC = 9$.
Типичные ошибки
Определяют гипотенузу по чертежу
Как ошибаются: называют гипотенузой нижнюю или наклонную сторону.
Как правильно: сначала найти прямой угол, потом взять сторону, которая его не касается. Треугольник может быть повёрнут как угодно — от этого стороны не меняются местами.
Применяют правило $30°$ к прилежащему катету
Как ошибаются: делят гипотенузу пополам и записывают результат для любого катета.
Как правильно: половине гипотенузы равен только катет напротив $30°$. Прилежащий через это правило не находится вовсе.
Путают внешний угол с внутренним
Как ошибаются: подставляют внешнюю величину в свойство суммы острых.
Как правильно: сначала перевести её во внутреннюю — они смежные, поэтому вычитают из $180°$. Внешний угол в сумму углов треугольника не входит.
Считают соотношение с суммой катетов рабочим свойством
Как ошибаются: воспринимают «гипотенуза меньше суммы катетов» как формулу для вычислений.
Как правильно: утверждение верное, но это частный случай неравенства треугольника, и найти по нему конкретную длину нельзя. Для вычислений нужны свойства углов или теорема Пифагора.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Сумма гипотенузы и катета, лежащего против $30°$, равна $30$. Найди гипотенузу.
Задание 2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $45°$. Чем особенен такой треугольник?
Задание 3. В прямоугольном треугольнике катет равен $6$, а гипотенуза $12$. Найди градусную меру напротив этого катета.
Задание 4. Может ли в прямоугольном треугольнике быть угол $95°$?
Задание 5. Гипотенуза равна $20$, острый угол равен $30°$. Найди прилежащий к нему катет. Хватает ли данных?
Решение к заданию 1. Обозначим катет через $x$. Он лежит напротив $30°$, поэтому равен половине гипотенузы, а сама гипотенуза равна $2x$.
Составляем уравнение: $x + 2x = 30$, откуда $3x = 30$ и $x = 10$.
Гипотенуза: $2 \cdot 10 = 20$.
Проверка: $10 + 20 = 30$ — совпадает с условием.
Ответ: $20$.
Решение к заданию 2. Второй острый равен $90°-45° = 45°$ — такой же, как первый.
Раз они равны, равны и стороны напротив них, то есть оба катета.
Ответ: это равнобедренный прямоугольный треугольник, его катеты равны.
Решение к заданию 3. Половина гипотенузы равна $12 : 2 = 6$ — ровно столько же, сколько катет.
По обратному свойству напротив такого катета лежит $30°$.
Ответ: $30°$.
Решение к заданию 4. Прямой угол занимает $90°$, на два остальных вместе остаётся тоже $90°$. Величина в $95°$ туда не поместится, да и вместе с прямым дала бы $185°$ — больше суммы всех углов.
Ответ: нет, не может.
Решение к заданию 5. Правило про половину гипотенузы относится только к катету напротив $30°$. Прилежащий через него не находится.
В седьмом классе такую задачу решить нельзя — понадобятся теорема Пифагора или тригонометрия.
Ответ: данных недостаточно, правило здесь неприменимо.
Заключение
Теперь ты умеешь находить стороны и градусные меры в прямоугольном треугольнике. Два острых в сумме дают $90°$, поэтому по одному сразу находится второй. Катет напротив $30°$ равен половине гипотенузы, и правило работает в обе стороны.
Начинай решение с чертежа и с поиска прямого угла. Гипотенуза — сторона, которая его не касается; катеты в нём сходятся. Определять их по расположению на листе нельзя.
Главная ловушка темы — слово «напротив». К прилежащему катету правило неприменимо, и найти его свойствами седьмого класса не получится. А если в условии дана внешняя величина, сначала переведи её во внутреннюю: они смежные и вместе дают $180°$. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для теоремы Пифагора.
