Когда данных много, таблица перестаёт помогать: цифры есть, а закономерность в них не видна. Диаграмма рассеивания решает эту проблему — каждое наблюдение превращается в точку, и связь между величинами становится заметной по форме получившегося облака. Разберём, как читать такой график, как определять тип связи и почему связь не всегда означает причину.
Как устроена диаграмма рассеивания
Строят её на координатной плоскости. По горизонтальной оси $X$ откладывают одну величину, по вертикальной оси $Y$ — другую. Каждое наблюдение даёт одну точку с двумя координатами.
Возьмём рост и размер обуви десяти одноклассников. По горизонтали отмечаем рост в сантиметрах, по вертикали — размер обуви. Ученик ростом $160$ см с размером $39$ превращается в точку $(160; 39)$.
Когда все наблюдения нанесены, получается облако точек. По его форме и определяют, связаны величины между собой или нет.
Виды связи
Связь между двумя величинами называют корреляцией. По диаграмме различают три случая.
Положительная связь
Облако точек вытягивается из левого нижнего угла в правый верхний: чем больше значение по оси $X$, тем больше по оси $Y$.
Пример: чем выше человек, тем обычно больше у него размер обуви.
Отрицательная связь
Облако идёт из левого верхнего угла вправо вниз: чем больше значение по оси $X$, тем меньше по оси $Y$.
Пример: чем больше пропущенных уроков, тем ниже обычно балл за контрольную.
Связи нет
Если точки рассыпаны хаотично и облако не вытянуто ни в какую сторону, связи между величинами нет.
Пример: рост человека и последняя цифра его номера телефона. Эти величины никак не зависят друг от друга.
Насколько связь сильная
Кроме направления у связи есть ещё одна характеристика — теснота.
Если точки лежат узкой полосой, почти вдоль одной линии, связь сильная: зная одну величину, вторую можно предсказать довольно точно. Если облако широкое и расплывчатое, но всё же наклонённое, связь слабая — тенденция есть, но исключений много.
Поэтому в выводе полезно говорить не просто «связь положительная», а «положительная и достаточно тесная» или «слабая положительная».
Связь не значит причину
Это главная мысль всей темы, и запомнить её стоит отдельно.
Возможных объяснений три:
- одна величина действительно влияет на другую;
- обе зависят от третьей, скрытой причины;
- совпадение, особенно если наблюдений мало.
Классический пример: летом одновременно растут продажи мороженого и число утонувших. Связь на диаграмме будет отчётливой, но мороженое здесь ни при чём — обе величины растут из-за жары, третьей причины.
Поэтому вывод по диаграмме формулируют осторожно: «величины связаны», а не «одна вызывает другую».
Выбросы
Причины бывают разные: нетипичный случай, редкое стечение обстоятельств или просто ошибка при записи данных.
При определении основной связи выбросы рассматривают отдельно. Одна необычная точка не должна менять вывод обо всей диаграмме — но и молчать о ней не стоит, если задача просит объяснить.
Алгоритм чтения диаграммы
- Прочитай подписи осей: какая величина отложена по горизонтали, какая по вертикали.
- Проверь масштаб — сколько единиц приходится на одно деление каждой оси.
- Посмотри на основную группу точек и мысленно проведи линию через её середину.
- Определи направление: вправо вверх — связь положительная, вправо вниз — отрицательная, направления нет — связи нет.
- Оцени тесноту: узкая полоса означает сильную связь, широкое облако — слабую.
- Найди точки, лежащие далеко от основной группы, — это возможные выбросы.
- Сформулируй вывод так, чтобы он отвечал именно на вопрос задачи.
Разбор задач
Продажа воды
Условие
В киоске каждый день жаркого месяца записывали два числа: температуру воздуха и количество проданных бутылок холодной воды. Данные нанесли на диаграмму рассеивания. Опиши расположение точек и назови тип связи.
Шаг 1. Определяем величины. Ось $X$ — температура, ось $Y$ — число проданных бутылок.
Шаг 2. Рассуждаем по смыслу. В жару воду покупают чаще, значит, с ростом температуры продажи растут.
Шаг 3. Обе величины растут вместе, поэтому облако вытянется от левого нижнего угла к правому верхнему.
Шаг 4. Проверяем связь на причинность. Здесь она правдоподобна: жара действительно заставляет людей покупать воду, а не наоборот.
Ответ: точки образуют облако, направленное вправо вверх. Связь положительная.
Забег на сто метров
Условие
Учитель физкультуры построил диаграмму: по оси $X$ — вес семиклассников в килограммах, по оси $Y$ — время забега на $100$ метров в секундах. В целом чем больше вес, тем больше времени уходит на дистанцию. Но одна точка оказалась далеко внизу: у этого ученика большой вес и очень хороший результат. Как называется такая точка и чем её объяснить?
Шаг 1. Определяем основную закономерность. Вес и время растут вместе, значит, связь положительная.
Шаг 2. Ищем нетипичные данные. В условии есть точка с большим значением по оси $X$ и маленьким по оси $Y$ — она не вписывается в общее направление.
Шаг 3. Такая точка и называется выбросом.
Шаг 4. Ищем объяснение. Скорее всего, ученик занимается спортом, где большой вес сочетается с хорошей физической подготовкой, — например, борьбой или тяжёлой атлетикой.
Ответ: это выброс. Причина — индивидуальные особенности или спортивная подготовка ученика.
Цена подержанных велосипедов
Условие
На диаграмме показана зависимость цены подержанных велосипедов от их возраста. По оси $X$ отложен возраст в годах, по оси $Y$ — цена в тысячах рублей. Определи тип связи и объясни, что означает точка с координатами $(8; 5)$.
Шаг 1. Рассуждаем по смыслу. С возрастом вещи обычно дешевеют: чем больше лет велосипеду, тем ниже цена.
Шаг 2. Одна величина растёт, другая убывает — значит, облако пойдёт из левого верхнего угла вправо вниз. Связь отрицательная.
Шаг 3. Читаем точку. Первая координата относится к оси $X$, то есть возраст равен $8$ годам. Вторая относится к оси $Y$, то есть цена равна $5$.
Шаг 4. Учитываем единицы измерения. Ось $Y$ размечена в тысячах рублей, поэтому цена составляет $5$ тысяч рублей.
Ответ: связь отрицательная. Точка означает велосипед возрастом $8$ лет стоимостью $5$ тысяч рублей.
Типичные ошибки
Путают оси
Как ошибаются: берут координаты наугад, не глядя на подписи.
Как правильно: первое число всегда относится к горизонтальной оси $X$, второе — к вертикальной оси $Y$. В точке $(160; 39)$ число $160$ — это значение по $X$, а $39$ — по $Y$. Точки $(160; 39)$ и $(39; 160)$ находятся в совершенно разных местах.
Не смотрят на масштаб
Как ошибаются: считают клетки, не проверив подписи делений.
Как правильно: одно деление может означать единицу, пятёрку или десяток, а иногда шкала начинается не с нуля. Проверять масштаб нужно на каждой оси отдельно — они бывают разными.
Видят закономерность там, где её нет
Как ошибаются: проводят прямую через несколько точек круглого облака и объявляют связь.
Как правильно: если облако не вытянуто ни в какую сторону, связи нет. Сначала оценивают форму всего облака и только потом делают вывод.
Принимают связь за причину
Как ошибаются: заключают, что одна величина вызывает изменение другой.
Как правильно: согласованное изменение не доказывает причину. Возможна третья, скрытая величина или простое совпадение. Правильная формулировка: «величины связаны».
Включают выброс в общую картину
Как ошибаются: учитывают одинокую точку наравне с остальными и портят вывод.
Как правильно: основную связь определяют по большинству точек, а выброс отмечают отдельно, если задача этого требует.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. На диаграмме отложены количество осадков и число людей на пляже. Какой тип связи получится?
Задание 2. Точки образуют почти круглое облако без наклона. Можно ли утверждать, что связь сильная положительная?
Задание 3. По оси $X$ отложен объём памяти телефона, по оси $Y$ — его цена. Что может оказаться выбросом на такой диаграмме?
Задание 4. Диаграмма показала связь между размером ноги ребёнка и его словарным запасом: чем больше нога, тем больше слов он знает. Значит ли это, что размер ноги влияет на речь?
Задание 5. На двух диаграммах связь положительная, но на первой точки лежат узкой полосой, а на второй разбросаны широко. На какой из них связь сильнее?
Решение к заданию 1. Чем больше осадков, тем меньше желающих идти на пляж. Одна величина растёт, другая убывает.
Ответ: связь отрицательная, облако направлено вправо вниз.
Решение к заданию 2. Круглое облако без вытянутости означает, что направление не прослеживается.
Ответ: нет, связи между величинами не видно.
Решение к заданию 3. Основная тенденция такая: больше памяти — выше цена. Выбросом станет точка, выпадающая из неё.
Ответ: телефон с большой памятью и подозрительно низкой ценой либо телефон с малой памятью и очень высокой ценой, например коллекционная модель.
Решение к заданию 4. Обе величины зависят от третьей причины — возраста ребёнка. Чем он старше, тем больше и нога, и словарный запас. Прямой связи между ними нет.
Ответ: нет, здесь работает скрытая третья величина.
Решение к заданию 5. Чем уже полоса точек, тем меньше отклонений от общей линии и тем точнее по одной величине можно предсказать другую.
Ответ: на первой диаграмме.
Заключение
Теперь ты умеешь читать диаграмму рассеивания: определять тип связи по направлению облака, оценивать её тесноту и находить выбросы. Порядок работы всегда один — сначала оси и масштаб, потом форма основной группы точек, и только затем вывод.
Направление облака задаёт тип связи. Вправо вверх — положительная, вправо вниз — отрицательная, никакого направления — связи нет. Ширина облака показывает силу: узкая полоса означает тесную связь, широкое пятно — слабую.
И самое важное: диаграмма показывает связь, но не объясняет её причину. Величины могут меняться вместе из-за третьего, скрытого фактора или вовсе случайно. Поэтому вывод формулируют аккуратно — «связаны», а не «одна вызывает другую». Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем про статистические характеристики и анализ данных.
