Задачи про кружки, языки и секции решаются одинаково: кто-то ходит на одно, кто-то на другое, кто-то сразу на оба. Складывать группы напрямую нельзя — те, кто попал в обе, посчитаются дважды. Диаграмма Эйлера превращает эту путаницу в чертёж, где каждая область отвечает за свою группу людей. Разберём понятия, порядок заполнения схемы и типовые задачи.
Основные понятия
По такому рисунку сразу видно, какие объекты входят в одну группу, какие сразу в несколько, а какие не входят никуда.
Пересечение и объединение
Заполнять диаграмму начинают именно с пересечения — оно входит в оба круга сразу, и без него остальные области посчитать нельзя.
Разность множеств
Именно разность отвечает на вопрос «сколько человек занимаются только математикой».
Универсальное множество
Площадь прямоугольника за пределами кругов — это объекты, не попавшие ни в одно множество. В задачах именно там прячутся те, кто «не ходит никуда».
Формула для двух множеств
Складывая два множества, каждый элемент пересечения учитывают дважды. Чтобы это исправить, лишнее вычитают:
Здесь вертикальные чёрточки означают количество элементов. Формулу удобно разворачивать в любую сторону: по ней находят и объединение, и пересечение, если известно всё остальное.
Алгоритм решения задач
- Нарисуй прямоугольник-универсум и внутри него столько кругов, сколько групп в условии.
- Впиши в центральную область количество объектов, входящих сразу во все множества.
- Заполни попарные пересечения. Если данное в условии число включает центральную часть, вычти её.
- Найди «чистые» части кругов: от общего количества в множестве отними все пересечения, которые в него входят.
- Сложи всё внутри кругов и вычти сумму из универсума — получишь количество тех, кто не вошёл никуда.
Порядок принципиален: с центра наружу. Если начать с внешних частей, придётся гадать, что уже посчитано, а что нет.
Разбор задач
Два кружка
Условие
В классе $30$ школьников. На математику ходят $18$ человек, на физику — $15$. Пятеро не посещают ничего. Сколько человек ходят на оба кружка?
Шаг 1. Находим, сколько человек посещают хотя бы один кружок. Из всего класса вычитаем тех, кто не ходит никуда: $30-5 = 25$.
Это и есть объединение двух множеств.
Шаг 2. Складываем участников кружков по отдельности: $18 + 15 = 33$.
Шаг 3. Сравниваем числа. Внутри кругов помещается $25$ человек, а сумма дала $33$. Разница появилась из-за двойного счёта: тех, кто ходит на оба кружка, посчитали в каждой группе.
Шаг 4. Находим пересечение: $33-25 = 8$.
Рисунок к заданию 1
Проверка. Подставим в формулу: $18 + 15-8 = 25$. Совпало с объединением из первого шага.
Ответ: $8$ человек посещают оба кружка.
Три иностранных языка
Условие
В классе $35$ школьников. Английский изучают $20$ человек, немецкий — $15$, французский — $12$. Английский вместе с немецким — $8$ человек, английский с французским — $6$, немецкий с французским — $5$. Все три языка изучают $3$ человека. Сколько школьников не изучают ни одного из этих языков?
Шаг 1. Разбираемся с условием. Фраза «английский и немецкий изучают $8$ человек» означает всех, кто учит эти два языка, — включая тех, кто вдобавок учит французский. Значит, тройка из центра входит в эту восьмёрку.
Шаг 2. Рисуем три пересекающихся круга и вписываем в центр число $3$.
Шаг 3. Находим тех, кто изучает ровно два языка. Из каждой пары вычитаем центральную тройку:
английский и немецкий: $8-3 = 5$;
английский и французский: $6-3 = 3$;
немецкий и французский: $5-3 = 2$.
Шаг 4. Находим тех, кто изучает только один язык. Из общего количества вычитаем все области, входящие в этот круг.
Только английский: $20-(5 + 3 + 3) = 9$.
Только немецкий: $15-(5 + 2 + 3) = 5$.
Только французский: $12-(3 + 2 + 3) = 4$.
Шаг 5. Складываем все семь областей внутри кругов: $9 + 5 + 4 + 5 + 3 + 2 + 3 = 31$.
Шаг 6. Вычитаем из универсума: $35-31 = 4$.
Рисунок к заданию 2
Проверка. Сложим области, относящиеся к английскому: $9 + 5 + 3 + 3 = 20$ — совпадает с условием. Для немецкого: $5 + 5 + 2 + 3 = 15$ — тоже верно.
Ответ: $4$ школьника не изучают ни одного из этих языков.
Чтение готовой диаграммы
Условие
Внутри прямоугольника нарисованы $10$ точек. В круге $A$ лежат $4$ точки, в круге $B$ — $5$ точек, в их пересечении — $2$ точки. Сколько точек находится за пределами обоих кругов?
Шаг 1. Начинаем с пересечения — там $2$ точки.
Шаг 2. Находим чистую часть круга $A$: $4-2 = 2$ точки.
Шаг 3. Находим чистую часть круга $B$: $5-2 = 3$ точки.
Шаг 4. Складываем всё внутри кругов: $2 + 2 + 3 = 7$ точек.
Шаг 5. Вычитаем из общего количества: $10-7 = 3$.
Рисунок к заданию 3
Проверка. По формуле: $4 + 5-2 = 7$ — столько точек в объединении. Сходится с пятым шагом.
Ответ: за пределами кругов лежат $3$ точки.
Типичные ошибки
Двойной счёт
Как ошибаются: складывают размеры множеств и принимают результат за общее количество объектов.
Как правильно: при сложении целых групп элементы пересечения попадают в сумму дважды. Их нужно вычесть один раз: $|A| + |B|-|A \cap B|$.
Путают «всего» и «только»
Как ошибаются: вписывают общее количество участников в чистую часть круга.
Как правильно: «всего» относится ко всему кругу вместе с пересечениями, «только» — к чистой части без них. Из числа со словом «всего» пересечения приходится вычитать.
Забывают про универсум
Как ошибаются: считают, что все объекты помещаются внутри кругов.
Как правильно: рисовать прямоугольник и проверять, есть ли те, кто не вошёл ни в одну группу. В задачах их обычно упоминают отдельно: «пятеро не ходят никуда».
Заполняют схему не с того конца
Как ошибаются: начинают с внешних частей кругов.
Как правильно: двигаться от центра наружу — сначала общая для всех область, потом попарные пересечения, потом чистые части. Иначе непонятно, какие объекты уже учтены.
Считают, что пары не включают центр
Как ошибаются: в задаче с тремя множествами берут число из пары как есть, не вычитая тех, кто входит во все три.
Как правильно: проверять формулировку. Фраза «изучают английский и немецкий» обычно включает и тех, кто вдобавок учит французский. Если в условии сказано «только два языка», вычитать не нужно.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Верно ли, что разность множеств $A$ и $B$ состоит из объектов, принадлежащих и $A$, и $B$?
Задание 2. Как называется общая часть двух кругов на диаграмме Эйлера?
Задание 3. В классе $20$ человек. Лёгкой атлетикой занимаются $15$, плаванием — $7$. Двое освобождены и не ходят никуда. Сколько человек совмещают обе секции?
Задание 4. В множестве $A$ — $12$ элементов, в множестве $B$ — $9$, в их пересечении — $4$. Сколько элементов в объединении?
Задание 5. На кружок рисования ходят $14$ человек, из них $6$ занимаются ещё и лепкой. Сколько человек занимаются только рисованием?
Решение к заданию 1. Общая часть двух множеств — это пересечение, а не разность. Разность содержит объекты первого множества, которых нет во втором.
Ответ: неверно.
Решение к заданию 2. Это область, попадающая в оба круга одновременно.
Ответ: пересечение множеств.
Решение к заданию 3. Сначала находим, сколько человек посещают хотя бы одну секцию: $20-2 = 18$.
Складываем участников по отдельности: $15 + 7 = 22$.
Разница возникла из-за двойного счёта: $22-18 = 4$.
Ответ: $4$ человека совмещают обе секции.
Решение к заданию 4. Подставляем в формулу: $12 + 9-4 = 17$.
Ответ: $17$ элементов.
Решение к заданию 5. Число $14$ относится ко всему кругу рисования, а шестеро из них попадают в пересечение. Значит, чистая часть равна $14-6 = 8$.
Ответ: $8$ человек занимаются только рисованием.
Заключение
Теперь ты умеешь переводить условие задачи в диаграмму Эйлера и считать по ней группы объектов. Заполняют схему всегда от центра наружу: сначала область, общая для всех множеств, затем попарные пересечения, затем чистые части кругов и в последнюю очередь пространство за их пределами.
Главная ловушка темы — двойной счёт. Складывая два множества, ты дважды учитываешь их общую часть, поэтому её вычитают: $|A| + |B|-|A \cap B|$. Этой же формулой удобно проверять готовый ответ.
И следи за словами в условии. «Всего» относится ко всему кругу вместе с пересечениями, «только» — к чистой части. А фраза вида «изучают английский и немецкий» обычно включает и тех, кто учит третий язык, поэтому центральную область из неё вычитают. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем по комбинаторике и теории вероятностей.
