Вся тема держится на одном различии, которое легко упустить. Признаки отвечают на вопрос «параллельны ли прямые» — их применяют, когда параллельность надо доказать. Свойства отвечают на вопрос «чему равны углы» — их применяют, когда параллельность уже дана. Утверждения выглядят почти одинаково, а работают в противоположные стороны. Разберём понятия, обе группы правил и типовые задачи.
Основные понятия
На плоскости других вариантов нет: две прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. Поэтому доказать, что прямые пересекаются, можно от противного — показав, что они не параллельны.
Восемь углов при секущей
Секущая пересекает две прямые и образует восемь углов — по четыре у каждой точки пересечения.
Четыре из них лежат в полосе между прямыми, их называют внутренними. Оставшиеся четыре находятся снаружи полосы и называются внешними.
Из этих восьми углов составляют пары, и для задач важны три вида.
Кроме этих пар в решениях постоянно используют два знакомых понятия. Вертикальные углы лежат крест-накрест при одной точке пересечения и всегда равны. Смежные углы прилегают друг к другу и в сумме дают $180°$. Оба факта верны для любых прямых, а не только для параллельных.
Признаки параллельности
Признак отвечает на вопрос, как доказать параллельность.
Прямые параллельны, если при пересечении секущей:
- накрест лежащие углы равны;
- соответственные углы равны;
- сумма односторонних углов равна $180°$.
Достаточно одного из трёх: если выполняется одно, автоматически выполняются и остальные два.
Отсюда следуют два удобных факта:
- две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой;
- две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Свойства параллельных прямых
Свойство работает в обратную сторону: параллельность уже известна, и по ней находят углы.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
- накрест лежащие углы равны;
- соответственные углы равны;
- сумма односторонних углов равна $180°$.
Формулировки те же самые, но условие и вывод поменялись местами. В признаке равенство углов — условие, а параллельность — вывод. В свойстве наоборот.
Как выбрать нужное правило
Вопрос всего один: что дано, а что требуется найти.
Требуется доказать параллельность — берём признак. Формулировка задачи выглядит так: «Докажите, что $a \parallel b$».
Параллельность уже дана, требуется найти угол — берём свойство. Формулировка: «Дано: $a \parallel b$. Найдите угол».
Ошибиться в этом месте — значит применить правило, условия которого не выполнены. Решение окажется неверным, даже если ответ случайно совпадёт.
Алгоритм решения задач
- Прочитай условие и определи задачу: доказать параллельность или найти градусную меру.
- Найди на чертеже секущую — прямую, пересекающую две другие.
- Определи вид пары углов: накрест лежащие, односторонние или соответственные.
- Выбери правило: признак для доказательства, свойство для вычисления.
- Запиши решение, называя правило и объясняя, почему оно применимо.
Разбор задач
Доказательство параллельности
Условие
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них. Докажи, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.
Шаг 1. Определяем тип задачи. Требуется доказать параллельность, значит, работаем с признаком. Чтобы его применить, нужно найти равные углы.
Шаг 2. Рассматриваем треугольники $AOC$ и $BOD$.
Шаг 3. Выписываем равные элементы. Точка $O$ — середина отрезка $AB$, поэтому $AO = BO$. Она же середина отрезка $CD$, поэтому $CO = DO$.
Шаг 4. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ вертикальные, а значит, равны.
Шаг 5. Получилось две стороны и угол между ними — треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.
Шаг 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, в том числе $\angle ACO = \angle BDO$.
Шаг 7. Определяем вид этой пары. Секущей служит прямая $CD$, оба угла внутренние и лежат по разные стороны от неё — значит, они накрест лежащие.
Шаг 8. Применяем признак: накрест лежащие углы равны, следовательно, прямые параллельны.
Рисунок к заданию 1
Ответ: $AC \parallel BD$.
Вычисление всех углов
Условие
Параллельные прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$. Сумма двух накрест лежащих углов равна $110°$. Найди градусные меры всех восьми образовавшихся углов.
Шаг 1. Определяем тип задачи. Параллельность дана в условии, поэтому применяем свойства.
Шаг 2. По свойству накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Обозначим их $\angle 1$ и $\angle 2$, тогда $\angle 1 = \angle 2$.
Шаг 3. По условию их сумма равна $110°$. Раз углы равны, каждый составляет половину: $110° : 2 = 55°$.
Шаг 4. Находим смежный с ним угол: $180°-55° = 125°$.
Шаг 5. Расставляем остальные. При каждой точке пересечения вертикальные углы равны, а смежные дополняют друг друга до $180°$. Значит, у каждой прямой получается по два угла в $55°$ и по два в $125°$.
Шаг 6. Прямые параллельны, поэтому картина у второй точки пересечения повторяет первую.
Рисунок к заданию 2
Проверка. Сумма односторонних углов должна равняться $180°$: $55° + 125° = 180°$. Сходится.
Ответ: четыре угла по $55°$ и четыре по $125°$.
Типичные ошибки
Путают признак со свойством
Как ошибаются: пишут «прямые параллельны по свойству накрест лежащих углов».
Как правильно: параллельность доказывают признаком. Свойство применяют, когда параллельность уже известна. В доказательстве правильная формулировка звучит так: «по признаку параллельности прямых».
Применяют свойства без основания
Как ошибаются: приравнивают углы, потому что на чертеже они выглядят одинаковыми.
Как правильно: свойства работают только в двух случаях — параллельность указана в условии либо доказана раньше по признаку. Внешний вид рисунка основанием не является.
Складывают не те углы
Как ошибаются: приравнивают к $180°$ сумму накрест лежащих или соответственных углов.
Как правильно: до $180°$ дополняют друг друга только односторонние. Накрест лежащие и соответственные при параллельных прямых равны, а не дают в сумме развёрнутый угол.
Забывают, что секущая пересекает прямые в разных точках
Как ошибаются: называют секущей прямую, проходящую через общую точку.
Как правильно: если бы все три прямые сходились в одной точке, никаких пар углов при двух разных вершинах не образовалось бы. Секущая обязана пересекать прямые в двух различных точках.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Две прямые пересечены секущей, сумма односторонних углов равна $179°$. Пересекаются ли эти прямые?
Задание 2. Прямые $k$ и $m$ пересечены секущей $n$, соответственные углы равны по $72°$. Чему равна сумма односторонних углов?
Задание 3. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из внутренних углов равен $45°$. Найди накрест лежащий с ним угол.
Задание 4. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из односторонних углов равен $118°$. Найди второй.
Задание 5. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$. Что можно сказать про $a$ и $b$?
Решение к заданию 1. Для параллельности сумма односторонних углов должна равняться ровно $180°$. Здесь она равна $179°$, значит, признак не выполняется и прямые не параллельны.
На плоскости непараллельные прямые обязательно пересекаются.
Ответ: да, пересекаются.
Решение к заданию 2. Соответственные углы равны, значит, по признаку прямые параллельны.
Теперь параллельность известна, поэтому можно применить свойство: сумма односторонних углов при параллельных прямых равна $180°$.
Ответ: $180°$.
Решение к заданию 3. Параллельность дана, применяем свойство: накрест лежащие углы равны.
Ответ: $45°$.
Решение к заданию 4. Односторонние углы при параллельных прямых дают в сумме $180°$, поэтому вычитаем: $180°-118° = 62°$.
Проверка: $118° + 62° = 180°$.
Ответ: $62°$.
Решение к заданию 5. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой — это следствие из признаков.
Ответ: $a \parallel b$.
Заключение
Теперь ты умеешь различать признаки и свойства параллельных прямых и выбирать нужное правило по условию задачи. Признак доказывает параллельность по равным углам. Свойство, наоборот, находит углы, когда параллельность уже известна.
Сами формулировки в обеих группах совпадают. Накрест лежащие углы равны, соответственные равны, односторонние в сумме дают $180°$. Разница только в том, что считать условием, а что выводом.
Перед применением свойства убедись, что параллельность действительно дана или доказана: похожие на глаз углы основанием не служат. И следи за видом пары — до $180°$ дополняют друг друга только односторонние, остальные две пары равны. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем про треугольники и четырёхугольники.
