Две формулы этой темы похожи до неразличимости: в обеих стоит $\pi$, в обеих радиус. Но одна считает длину границы, другая — площадь того, что внутри. Спутать их легко, а различить помогает простое наблюдение: площадь измеряется в квадратных единицах, поэтому именно в её формуле есть квадрат радиуса. Разберём определения, формулы и порядок решения.
Окружность и круг — разные фигуры
В обиходе эти слова означают одно и то же, в геометрии — нет.
Разница видна на предметах. Обруч — это окружность: одна линия, внутри пусто. Тарелка — круг: заполнена целиком.
Отсюда следует главное. У окружности можно измерить только длину — она линия и площади не имеет. У круга есть площадь, потому что он занимает часть плоскости.
Элементы окружности
Обрати внимание на связь понятий: диаметр — частный случай хорды, а не отдельная фигура. Любая хорда короче диаметра, и равной ему она становится, только когда сама проходит через центр.
Что такое число π
Если длину любой окружности разделить на её диаметр, получится одно и то же число — независимо от размера фигуры. Это отношение обозначают греческой буквой $\pi$.
Десятичная запись числа $\pi$ бесконечна и не повторяется, поэтому в школьных задачах берут приближение $3{,}14$. Из-за этого ответы тоже получаются приближёнными.
Формулы
Две записи длины — одна и та же формула: раз $d = 2r$, подстановка даёт $C = \pi \cdot 2r = 2\pi r$. Выбирают ту, что подходит к условию: дан диаметр — берут первую, дан радиус — вторую.
Как не перепутать формулы
Подсказку даёт единица измерения ответа.
Длина измеряется в сантиметрах или метрах — обычных линейных единицах. В её формуле радиус стоит в первой степени.
Площадь измеряется в квадратных сантиметрах или метрах. В её формуле радиус возведён в квадрат — отсюда и квадратные единицы.
Правило простое: квадрат в ответе означает квадрат в формуле.
Алгоритм решения
- Выпиши данные и определи, что именно дано: радиус или диаметр.
- Пойми, что требуется — длина границы или площадь фигуры.
- Выбери формулу: длина через $C$, площадь через $S$.
- Если в формуле нужен радиус, а дан диаметр, раздели диаметр на два.
- Подставь числа, взяв $\pi \approx 3{,}14$.
- Запиши ответ с единицами: линейные для длины, квадратные для площади.
Первый шаг решает половину дела. Число в условии само по себе ничего не говорит — важно, радиус это или диаметр.
Разбор задач
Длина окружности по радиусу
Условие
Найди длину окружности, если её радиус равен $5$ см.
Шаг 1. Выписываем данные: $r = 5$ см. Дан именно радиус.
Шаг 2. Ищем длину, поэтому берём формулу $C = 2\pi r$ — ту, где радиус.
Шаг 3. Подставляем: $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5$.
Шаг 4. Считаем удобным порядком, сначала перемножив целые: $2 \cdot 5 = 10$, затем $10 \cdot 3{,}14 = 31{,}4$.
Проверка. Прикинем иначе. Диаметр равен $10$ см, а длина окружности примерно втрое больше диаметра, значит около $30$ см. Полученные $31{,}4$ см согласуются с оценкой.
Ответ: $C = 31{,}4$ см.
Площадь круга по диаметру
Условие
Найди площадь круга, диаметр которого равен $12$ см.
Шаг 1. Выписываем данные: $d = 12$ см. Дан диаметр, а не радиус.
Шаг 2. Ищем площадь, поэтому берём формулу $S = \pi r^2$. В ней стоит радиус — значит, диаметр придётся пересчитать.
Шаг 3. Находим радиус: $r = 12 : 2 = 6$ см.
Шаг 4. Подставляем: $S = 3{,}14 \cdot 6^2$.
Шаг 5. Возводим в квадрат и умножаем: $6^2 = 36$, затем $3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04$.
Проверка. Круг помещается в квадрат со стороной $12$ см, площадь которого равна $144$ см². Наш ответ меньше, как и должно быть, — примерно три четверти от квадрата.
Ответ: $S = 113{,}04$ см².
Радиус по длине окружности
Условие
Длина круговой беговой дорожки равна $62{,}8$ м. Найди её радиус.
Шаг 1. Разбираемся с типом задачи. Известна длина, найти нужно радиус — задача обратная обычной.
Шаг 2. Берём формулу длины: $C = 2\pi r$.
Шаг 3. Выражаем неизвестное. Радиус — неизвестный множитель, поэтому произведение делим на второй множитель: $r = \dfrac{C}{2\pi}$.
Шаг 4. Считаем знаменатель: $2 \cdot 3{,}14 = 6{,}28$.
Шаг 5. Делим: $62{,}8 : 6{,}28 = 10$ м.
Проверка. Подставим обратно: $2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8$ м — совпало с условием.
Ответ: $r = 10$ м.
Типичные ошибки
Подставляют диаметр вместо радиуса
Как ошибаются: берут число из условия и сразу вставляют в формулу, не проверив, что это за величина.
Как правильно: сначала определить, радиус дан или диаметр. Если в формуле нужен радиус, а дан диаметр, разделить на два. Ошибка здесь дорогая: в площади она даёт результат вчетверо больше нужного.
Неверно возводят в квадрат
Как ошибаются: вместо $r^2$ считают $2r$, то есть при $r = 5$ получают $10$ вместо $25$.
Как правильно: квадрат означает умножение числа на само себя: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Путают формулы длины и площади
Как ошибаются: ищут площадь по формуле $2\pi r$ или длину по формуле $\pi r^2$.
Как правильно: ориентироваться на единицы. Квадратные единицы в ответе означают квадрат радиуса в формуле. Если ответ должен быть в сантиметрах, радиус стоит в первой степени.
Забывают квадратные единицы
Как ошибаются: записывают площадь в сантиметрах вместо квадратных сантиметров.
Как правильно: длина измеряется в линейных единицах, площадь — в квадратных. Единица в ответе сама подсказывает, ту ли формулу применили.
Считают, что π равно ровно 3,14
Как ошибаются: воспринимают $3{,}14$ как точное значение.
Как правильно: это приближение, поэтому и ответы получаются приближёнными. Если в задаче просят оставить ответ через $\pi$, его не заменяют числом: пишут, например, $10\pi$ см.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найди длину окружности, если диаметр равен $10$ см.
Задание 2. Найди площадь круга, если радиус равен $3$ см.
Задание 3. Диаметр круга равен $14$ см. В нём провели хорду длиной $14$ см. Найди расстояние от центра до этой хорды.
Задание 4. Длина окружности равна $18{,}84$ см. Найди её диаметр.
Задание 5. Радиус круга увеличили вдвое. Во сколько раз выросла площадь?
Задание 6. Что больше: длина окружности радиуса $10$ см или периметр квадрата со стороной $16$ см?
Решение к заданию 1. Дан диаметр, поэтому берём формулу $C = \pi d$ — пересчитывать ничего не нужно.
Считаем: $C = 3{,}14 \cdot 10 = 31{,}4$ см.
Ответ: $31{,}4$ см.
Решение к заданию 2. Дан радиус, ищем площадь: $S = \pi r^2$.
Возводим в квадрат: $3^2 = 9$. Умножаем: $3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26$ см².
Ответ: $28{,}26$ см².
Решение к заданию 3. Хорда равна $14$ см — столько же, сколько диаметр. Но диаметр является самой длинной хордой, значит, эта хорда и есть диаметр.
Диаметр проходит через центр, поэтому центр лежит на самой хорде, и расстояние до неё равно нулю.
Рисунок к заданию
Ответ: $0$ см.
Решение к заданию 4. Задача обратная. Из формулы $C = \pi d$ выражаем диаметр: $d = \dfrac{C}{\pi}$.
Считаем: $18{,}84 : 3{,}14 = 6$ см.
Проверка: $3{,}14 \cdot 6 = 18{,}84$ см.
Ответ: $6$ см.
Решение к заданию 5. Пусть радиус был $r$, стал $2r$.
Была площадь $\pi r^2$, стала $\pi (2r)^2 = \pi \cdot 4r^2$, то есть вчетверо больше.
Проверим на числах: при $r = 3$ площадь равна $28{,}26$ см², при $r = 6$ она равна $113{,}04$ см². Отношение: $113{,}04 : 28{,}26 = 4$.
Ответ: в $4$ раза.
Решение к заданию 6. Длина окружности: $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8$ см.
Периметр квадрата: $P = 4 \cdot 16 = 64$ см.
Сравниваем: $62{,}8 < 64$.
Ответ: периметр квадрата больше.
Заключение
Теперь ты умеешь различать окружность и круг, находить длину и площадь, а также решать обратные задачи. Три формулы стоит держать в памяти: $C = \pi d$, $C = 2\pi r$ и $S = \pi r^2$. Первые две — одна и та же формула в разных записях.
Различать их помогает единица измерения. Квадратные сантиметры в ответе означают квадрат радиуса в формуле, обычные сантиметры — первую степень.
Перед подстановкой всегда проверяй, что дано в условии: радиус или диаметр. Это самая частая ошибка темы, и в задачах на площадь она увеличивает ответ вчетверо. И помни, что $3{,}14$ — приближение числа $\pi$, поэтому результат получается приближённым. Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для тем про вписанные углы и круговые секторы.
