Человек, рост которого равен \(1{,}6\) м, стоит на расстоянии \(17\) м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна \(8\) м. Определите высоту фонаря (в метрах).

Введём обозначения и рассмотри треугольники \(ABC\) и \(DEC\). Так как угол \(С\) у них общий, а углы \(B\) и \(E\) равны \(90^\circ\), значит треугольники подобны по двум углам. Тогда верно следующее соотношение: \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EC},\) где \(BC = BE + EC = 17 + 8 = 25\). Отсюда \(\frac{AB}{1,6} = \frac{25}{8} \Rightarrow AB = \frac{25 \cdot 1,6}{8} = 25 \cdot 0,2 = 5\)

На координатной прямой отмечено число \(m\). Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца. Для каждой буквы укажите соответствующий номер отрезка.

По координатной прямой можем примерно оценить значение \(m\): \(m \approx 0,4\). Рассмотрим каждое число: A) \(m-1 \approx 0,4 - 1 \approx -0,6\) - лежит на отрезке 2 B) \(m^2 \approx 0,4^2 \approx 0,16\) - лежит на отрезке 3 C) \(4m \approx 4\cdot 0,4 \approx 1,6\) - лежит на отрезке 4 D) \(-\frac{1}{m} \approx -\frac{1}{0,4} \approx -2,5\) - лежит на отрезке 1

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту \(l\) этого столба, если наименьшая высота \(h_1\) перил равна 1,05 м, а наибольшая высота \(h_2\) равна 2,05 м. Ответ дайте в метрах.

Все три столба параллельны друг другу, значит, имеем трапецию, в которой \(h_1\) и \(h_2\) - основания, \(l\) - средняя линия (так как по условию столб \(l\) расположен посередине). Тогда длину столба \(l\) можно найти по формуле нахождения длины средней линии трапеции (формула есть в справочных материалах): \(l = \frac{h_1 + h_2}{2} = \frac{1,05 + 2,05}{2} = \frac{3,1}{2} = 1,55 \; м\)

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. Для каждого неравенства укажите соответствующий номер решения.

Вспомним, что у логарифмов есть ограничения. Для всех неравенств они одинаковые: \(x>0\) (*). Но пригодятся они только для тех неравенств, у которых ответ получился со знаком “\( 0\\\end{gathered}\right.\). Следовательно, Б - 2. В) \(\log_4 x \ge -1 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{4}\). Следовательно, В - 4. Г) \(\log_4 x \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \le 4\\x>0\\\end{gathered}\right.\). Следовательно, Г - 1.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \(\frac{1}{3}\) высоты. Объём сосуда равен 810 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

Обозначим \(V_{воды} = V_{маленького \;конуса}, \; V_{сосуда} = V_{большого \;конуса} = 810 \; мл\). Конусы являются подобными фигурами, поэтому \(\frac{V_{маленького \;конуса}}{V_{большого \;конуса}} = k^3\). Из условия \(k = \frac{1}{3}\). Тогда \(\frac{V_{маленького \;конуса}}{810} = \left(\frac{1}{3}\right)^3\) \(\frac{V_{маленького \;конуса}}{810} = \frac{1}{27} \Rightarrow V_{маленького \;конуса} = V_{воды} = 30 \; мл\)