Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 50 см × 40 см × 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

Объем аквариума: $50 \cdot 40 \cdot 40 = 80000$ кубических сантиметров. Так как $1 \; л = 1000 \; кубических \; сантиметров$, то $80000 \; кубических \; сантиметров = 80 \; л$.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости 90 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Обозначим $V_{воды} = V_{маленького \;конуса} = 90 \; мл, \; V_{сосуда} = V_{большого \;конуса}$. Конусы являются подобными фигурами, поэтому $\frac{V_{маленького \;конуса}}{V_{большого \;конуса}} = k^3$. Из условия $k = \frac{1}{2}$. Тогда $\frac{90}{V_{большого \;конуса}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ $\frac{90}{V_{большого \;конуса}} = \frac{1}{8} \Rightarrow V_{большого \;конуса} = 90 \cdot 8 = 720\; мл$ Значит, чтобы наполнить сосуд понадобиться долить ещё $720 - 90 = 630 \; мл$

Однородный шар диаметром 3 см весит 54 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?

Объём шара $V = \frac{4}{3} \pi \cdot R^3$, где $R$ - радиус шара. Иначе $V = m \rho$, где $m$ - масса шара, $\rho$ - плотность. По условию, оба шара сделаны из одного материала, значит, их плотность одинакова. Тогда имеет место следующее отношение $\frac{m_1 \rho}{m_2 \rho} = \frac{\frac{4}{3} \pi \cdot R_1^3}{\frac{4}{3} \pi \cdot R_2^3}$ $\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$ $\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$ Известно, что $m_1 = 54$ грамма, $R_1 = d_1 / 2 = 3 / 2 = 1,5$ см, $R_2 = d_2 / 2 = 5 / 2 = 2,5$ см. Тогда $\frac{54}{m_2} = \left(\frac{1,5}{2,5}\right)^3$ $\frac{54}{m_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^3$ $\frac{54}{m_2} = \frac{27}{125}$ $54 \cdot 125 = m_2 \cdot 27$ $m_2 = 2 \cdot 125 = 250$ Значит, масса второго шара равна 250 граммов.

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 100$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Объём призмы: $V = a^2 h$, где $a$ - сторона основания, $h$ - высота. В первом сосуде объём воды равен $V_1 = a_1^2 h_1$. Во втором сосуде $a_2 = 2 a_1$, тогда объём воды будет $V_2 = a_2^2 h_2 = (2a_1)^2 \cdot h_2 = 4a_1^2 \cdot h_2$. Так как воду из одного сосуда перелили в другой, то её объём не изменился - $V_1 = V_2$. Тогда $a_1^2 h_1 = 4a_1^2 h_2$ $a_1^2 \cdot 100 = 4a_1^2 h_2$ $100 = 4 h_2$ $100 / 4 = h_2$ $h_2 = 25 \; см$ Значит, уровень воды во втором сосуде будет $25$ см.

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рис.), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней?

Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через указанные точки. Призма разбивается на два многогранника - больший (дальше от нас) и меньший (ближе к нам). Можно заметить, что меньший многогранник имеет столько же граней, как и призма - 5 (2 основания и 3 боковые грани). Больший многогранник имеет 2 основания и 4 боковые грани - всего 6. Значит, меньшее число граней у меньшего многогранника. Он имеет 6 вершин.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по базовой математике, стр. 58 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, базовой математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 20641 балл
Объемы
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 50 см × 40 см × 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.
id 21301 балл
Подобие
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости 90 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
id 21341 балл
Подобие
Однородный шар диаметром 3 см весит 54 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
id 21431 балл
Объемы
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 100$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
id 21941 балл
Элементы многогранника
Плоскость, проходящая через точки $A$ , $B$ и $C$ (см. рис.), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней?