Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 44 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.

Точная копия подобна оригиналу, значит отношения сторон и высот пирамид будут равны. Отношение сторон: \(\frac{220 \; м}{44 \; см} = \frac{22000 \; см}{44 \; см} = 500\) Отношение высот: \(\frac{104 \; м}{ h \; см} = 500\), отсюда \(h = \frac{104 \; м}{ 500} = \frac{10400 \; см}{500} = 20,8\) см

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Разделим условно всю деталь на два параллелепипеда: верхний и нижний. У верхнего параллелепипеда стороны равны 2 см, 1 см и 2 см. Его объём: \(V_1 = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 \; см^3\) У нижнего параллелепипеда стороны равны 2 см, 4 см и 3 см. Его объём: \(V_2 = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24 \; см^3\) Объем всей детали равен \(V = V_1 + V_2 = 4 + 24 = 28 \; см^3\)

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Объём прямой призмы равен \(V = a \cdot b \cdot h\), где \(a\) и \(b\) - стороны основания, \(h\) - высота. По условию, без детали объём воды равен \(V_в = a \cdot b \cdot h = 5\) л, а с погруженной деталью уровень воды в 1,4 раза выше, то есть \(V_в + V_{дет}= a \cdot b \cdot 1,4h\) Тогда \(V_в + V_{дет}= 1,4 \cdot a \cdot b \cdot h = 1,4 V_в\) \(V_{дет} = 1,4V_в - V_в = 0,4 V_в\) \(V_{дет} = 0,4 \cdot 5 = 2 \; л\) Так как \(1 \; л = 1000 \; кубических \; сантиметров\), то \(2 \; л = 2000 \; кубических \; сантиметров\)

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Объём цилиндра \(V = S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота. Изначально объём воды в цилиндре равен \(V_в = S \cdot h = 5\) л. После погружения в воду детали уровень воды вырос в 1,2 раза, значит, \(V_в + V_{дет}= S \cdot 1,2h\). Тогда \(V_в + V_{дет}= 1,2 \cdot S \cdot h = 1,2 V_в\) \(V_{дет} = 1,2 V_в - V_в = 0,2 V_в\) \(V_{дет} = 0,2 \cdot 5 = 1 \; л\) \(1 \; л = 1000 \; кубических \; сантиметров\).

Плоскость, проходящая через точки \(A\), \(B\) и \(C\) (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?

Обозначим тетраэдр KLMP. Плоскость ABC разбивает его на два многогранника: KLMABC и ABCP. Граней больше у первого - KLMABC. У этого многогранника 6 вершин. Ответ: 6.