В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, $AB = 5$, $AC = \sqrt{21}$. Найдите $\sin A$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Тогда $\sin A = \frac{BC}{AB}$ Из теоремы Пифагора $BC^2 = AB^2 - AC^2$ $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - (\sqrt{21})^2} = \sqrt{25 - 21} = \sqrt{4} = 2$ Следовательно, $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5} = 0,4$

На окружности с центром $𝑂$ и диаметром $𝐴𝐵$ отмечена точка $𝐶$ так, что угол $𝐶𝑂𝐵$ равен $120°$, $𝐴𝐶=34$. Найдите диаметр окружности.

$OC = OB$, так как радиусы. Тогда треугольник $OCB$ равнобедренный и углы при основании $\angle OCB = \angle OBC = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$. Угол $ACB$ опирается на диаметр, значит равен 90°. Тогда в прямоугольном треугольнике $ACB$ $\angle B = 30°$, следовательно $AC = \frac{1}{2} AB$. Отсюда $AB = 2AC = 2\cdot 34 = 68$.

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен 124°. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

$\angle BOC = \angle AOD = 124°$, так как вертикальные углы. Треугольник $BOC$ равнобедренный, так как $OB$ и $OC$ радиусы. Тогда углы при основании $OBC$ и $OCB$ равны $(180° - 124°) / 2 = 56° / 2 = 28°$

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 12$, $BC = CD = 13$ (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Тогда $ABCH$ - прямоугольник и $CH = AB = 12$, $AH = BC = 13$. Треугольник $CHD$ - прямоугольный (угол $H = 90°$). Из теоремы Пифагора найдем $DH$: $DH^2 = CD^2 - CH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$ $DH = 5$ Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{BC + AD}{2} = \frac{BC + AH + HD}{2} = \frac{13 + 13 + 5}{2} = \frac{31}{2} = 15,5$

На окружности радиуса $3$ отмечена точка $𝐶$. Отрезок $𝐴𝐵$ − диаметр окружности, $𝐴𝐶=4\sqrt{2}$. Найдите $𝐵𝐶$.

$\angle ACB = 90°$, так как опирается на диаметр. Тогда в треугольнике ABC по теореме Пифагора найдем BC: $BC^2 = AB^2 - AC^2 = (2 \cdot 3)^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - 32 = 4 \Rightarrow BC = 2$ Ответ: 2.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по базовой математике, стр. 60 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, базовой математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 24881 балл
Треугольники. Равнобедренный треугольник
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$ , $AB = 5$ , $AC = \sqrt{21}$ . Найдите $\sin A$ .
id 25311 балл
Окружности
На окружности с центром $𝑂$ и диаметром $𝐴𝐵$ отмечена точка $𝐶$ так, что угол $𝐶𝑂𝐵$ равен $120°$ , $𝐴𝐶=34$ . Найдите диаметр окружности.
id 25671 балл
Окружности
В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен 124°. Найдите угол $ACB$ . Ответ дайте в градусах.
id 25751 балл
Трапеция
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 12$ , $BC = CD = 13$ (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции.
id 25921 балл
Окружности
На окружности радиуса $3$ отмечена точка $𝐶$ . Отрезок $𝐴𝐵$ − диаметр окружности, $𝐴𝐶=4\sqrt{2}$ . Найдите $𝐵𝐶$ .