Найдите чётное трёхзначное натуральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Обозначим a - сотни, b - десятки, c - единицы. Тогда по условию a+b+c+1=a⋅b⋅c. Так как произведение на 1 больше суммы, значит ни одна из цифр не равна 0. При этом искомое число четное - значит, c равен 2, 4, 6 или 8. Тогда произведение цифр - четное, а сумма цифр - нечетная (на 1 меньше). Значит, только одна из цифр числа нечетная. Переберём варианты. Если нечетное - 1, четные - 2 и 2: сумма - 5, произведение - 4. Не подходит, так как сумма должна быть меньше. Если нечетное - 1, четные - 2 и 4: сумма - 7, произведение - 8. Подходит. Если нечетное - 1, четные - 4 и 4: сумма - 9, произведение - 17. Не подходит, разница должна быть равна 1. Дальше увеличивать четные значения не имеет смысла - произведение всегда будет превосходить сумму более, чем на 1. Если нечетное - 3, четные - 2 и 2: сумма - 7, произведение - 12. Не подходит, разница должна быть равна 1. Дальше увеличивать и четные, и нечетные значения не имеет смысла - произведение всегда будет значительно превосходить сумму. Значит, подходит только тройка 1, 2 и 4. Ответ: 124, 142, 214, 412.

Найдите четырёхзначное число, большее $1500$, но меньшее $2000$, которое делится на $24$ и сумма цифр которого равна $21$.

24⋅63=1512 - минимальное возможное число, 24⋅83=1992 - максимальное. Тогда искомое число можно представить в виде 1512+24k, где 0≤k≤20. Переберём все возможные числа, отберём те, сумма цифр которых равна 21. Получим: 1776 (k=11), 1848 (k=14), 1992 (k=20). Ответ: 1776, 1848, 1992.

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120°$, $AC = 23$. Найдите диаметр окружности.

$OC = OB$, так как радиусы. Тогда треугольник $OCB$ равнобедренный и углы при основании $\angle OCB = \angle OBC = (180° - 120°) / 2 = 60° /2 = 30°$. Угол $ACB$ опирается на диаметр, значит равен 90°. Тогда в прямоугольном треугольнике $ACB$ $\angle B = 30°$, следовательно $AC = \frac{1}{2} AB$. Отсюда $AB = 2AC = 2\cdot 23 = 46$.

Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен 30°, а площадь квадрата равна 64.

Площадь квадрата равна $S_{кв} = a^2$, где $a$ - сторона квадрата. Тогда $a = \sqrt{S} = \sqrt{64} = 8$ Сторона ромба, по условию, равна стороне квадрата. Так как ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны, то можем воспользоваться формулой площади для параллелограмма из справочных материалов $S_р = a^2 \sin \alpha$, , где $\alpha$ - острый угол ромба. $S_р = 8^2 \cdot \sin 30° = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна 12, а $\mathrm{tg} A = \frac{12}{5}$ . Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой, поэтому $BM \bot AC$. Тогда треугольник $ABM$ прямоугольный и $\mathrm{tg} A = \frac{BM}{AM}$. Отсюда $\frac{12}{5} = \frac{12}{AM} \Rightarrow AM = 5$ По теореме Пифагора в трегольнике $ABM$: $AB^2 = BM^2 + AM^2$ $AB^2 = 12^2 + 5^2$ $AB^2 = 144 + 25$ $AB^2 = 169 \Rightarrow AB = 13$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по базовой математике, стр. 62 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, базовой математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 26921 балл
Сумма и произведение цифр
Найдите чётное трёхзначное натуральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
id 26971 балл
Сумма и произведение цифр
Найдите четырёхзначное число, большее $1500$ , но меньшее $2000$ , которое делится на $24$ и сумма цифр которого равна $21$ .
id 27131 балл
Окружности
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120°$ , $AC = 23$ . Найдите диаметр окружности.
id 27161 балл
Параллелограммы
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен 30°, а площадь квадрата равна 64.
id 27301 балл
Треугольники. Равнобедренный треугольник
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$ , проведённая к основанию, равна 12, а $\mathrm{tg} A = \frac{12}{5}$ . Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$ .