Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью \(0{,}2\) при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее \(0{,}6\)?

Вероятность того, что стрелок промахнётся при одном выстреле: \(1-0{,}2=0{,}8.\) После \(n\) выстрелов вероятность того, что стрелок ни разу не попадёт: \(0{,}8^n.\) Тогда вероятность того, что стрелок хотя бы один раз попадёт, равна: \(1-0{,}8^n.\) По условию: \(1-0{,}8^n\geq0{,}6.\) Получаем: \(0{,}8^n\leq0{,}4.\) Проверим значения: \(0{,}8^3=0{,}512>0{,}4,\) \(0{,}8^4=0{,}4096>0{,}4,\) \(0{,}8^5=0{,}32768<0{,}4.\) Следовательно, минимальное количество патронов: \(n=5.\) Ответ: \(5\).

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше \(810\) г, равна \(0,98\). Вероятность того, что её масса окажется больше \(790\) г, равна \(0,83\). Найдите вероятность того, что масса буханки больше \(790\) г, но меньше \(810\) г.

\(A\) – событие «масса буханки меньше \(810\) г». По условию: \(P(A)=0{,}98.\) \(B\) – событие «масса буханки больше \(790\) г». По условию: \(P(B)=0{,}83.\) Найдём вероятность того, что масса буханки меньше или равна \(790\) г: \(1-0{,}83=0{,}17.\) Масса буханки будет больше \(790\) г, но меньше \(810\) г, если она меньше \(810\) г и не меньше \(790\) г. Поэтому: \(P=0{,}98-0{,}17=0{,}81.\) Ответ: \(0{,}81\).

В коробке лежат \(9\) синих, \(4\) красных и \(12\) зеленых карандашей. Случайным образом выбирают два карандаша. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный карандаш.

Найдём общее число карандашей: \(9+4+12=25.\) Благоприятные исходы могут произойти двумя способами: сначала выбрать синий, затем красный карандаш: \(\dfrac{9}{25}\cdot\dfrac{4}{24},\) или сначала выбрать красный, затем синий карандаш: \(\dfrac{4}{25}\cdot\dfrac{9}{24}.\) Тогда вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный карандаши, равна: \(P=\dfrac{9}{25}\cdot\dfrac{4}{24} +\dfrac{4}{25}\cdot\dfrac{9}{24}.\) Вычислим: \(P=\dfrac{36}{600}+\dfrac{36}{600} =\dfrac{72}{600}=0{,}12.\) Ответ: \(0{,}12\).

В классе \(21\) учащийся, среди них две подруги Света и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по \(3\) человека в каждой. Найдите вероятность того, что Света и Нина окажутся в одной группе.

Рассмотрим распределение Светы и Нины по группам. Света может попасть в любую из \(7\) групп. После того как Света попала в группу, в этой группе остаётся \(2\)свободных места из \(20\) оставшихся мест для остальных учеников. Вероятность того, что Нина попадёт в ту же группу, что и Света: \(P=\dfrac{2}{20}.\) Вычислим: \(P=0{,}1.\) Ответ: \(0{,}1\).

Найдите наибольшее значение функции \(y=59x-56\sin x+42\) на отрезке \([-\frac{\pi}{2};0]\).

Найдём производную: \(y' = 59 - 56 \cos x\) Приравняем к нулю: \(59 - 56 \cos x = 0\) \(\cos x = \dfrac{59}{56} > 1\) Решений нет, значит, критических точек на отрезке нет. Функция монотонна, найдём её значения в концах отрезка. \(y(0) = 59 \cdot 0 - 56 \sin 0 + 42 = 42\) \(y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 59 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) - 56 \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 42=-\dfrac{59\pi}{2}+98\approx 5{,}4\) Значит, наибольшее значение равно \(42\). Ответ: \(42\)