а) Решите уравнение: $\cos 2x+\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi }{2} +x\right) +1=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ;3,5\pi ]$.

а) $\cos 2x+\sqrt{2}\cos (\frac{\pi}{2}+x)+1=0$ Используем формулу косинуса двойного угла и формулу приведения: $1-2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x+1=0\\ 2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-2=0\\ Обозначим \sin x=t,t\in [-1;1]\\ 2t^2+\sqrt{2}t-2=0\\ D=2+4\cdot 2\cdot 2=18\\ \sqrt{D}=3\sqrt{2}$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t_{1} =\frac{-\sqrt{2} +3\sqrt{2}}{4} =\frac{2\sqrt{2}}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2} & \\ t_{2} =\frac{-\sqrt{2} -3\sqrt{2}}{4} =-\sqrt{2} -не~ подходит,~так~ как-\sqrt{2}<- 1 & \end{array} \right.$ $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$ б) Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью. Нам подходят числа: $2\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{9\pi}{4}\\ 3\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4}$ Ответ: а) $\frac{\pi }{4} +2\pi n,n\in Z,\frac{3\pi }{4} +2\pi k,k\in Z$; б) $\frac{9\pi }{4} ;\frac{11\pi }{4}$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 107 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 161441 балл
Логарифмические уравнения
Найдите корень уравнения $\log_5(-10-3x)=3$ .
id 161451 балл
Иррациональные уравнения
Найдите корень уравнения $\sqrt[3]{x-5}=3$ .
id 161461 балл
Логарифмические уравнения
Найдите корень уравнения $\log_2(x+8)=3$ .
id 161472 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $\cos 2x+\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi }{2} +x\right) +1=0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ;3,5\pi ]$ .
id 161541 балл
Тригонометрические выражения
Найдите значение выражения $24\sqrt{2}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ .