a) Решите уравнение $2 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x.$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right].$

а) $2 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x$ $2 \sin^3 x = \sqrt{2} (1 - \sin^2 x) + 2 \sin x$ $2 \sin^3 x - 2 \sin x + \sqrt{2} \sin^2 x - \sqrt{2} = 0$ $2 \sin x (\sin^2 x - 1) + \sqrt{2} (\sin^2 x - 1) = 0$ $(\sin^2 x - 1)(2 \sin x + \sqrt{2}) = 0$ $\sin^2 x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad 2 \sin x + \sqrt{2} = 0$ $\sin x = \pm 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ б) Выполним отбор корней на промежутке $\left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right]$ с помощью единичной окружности. Получим числа $-\dfrac{7\pi}{2}; \, -\dfrac{11\pi}{4}; \, -\dfrac{5\pi}{2}.$ Ответ: a) $\dfrac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \, -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z};$ $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z};$ б) $-\dfrac{7\pi}{2}; \, -\dfrac{11\pi}{4}; \, -\dfrac{5\pi}{2}.$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 173 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 172441 балл
Задачи на работу
Первая труба пропускает на $5$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $104$ литра она заполняет на $5$ минут дольше, чем вторая труба?
id 172451 балл
Парабола (квадратичная функция)
На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $g(x) = kx$ , пересекающиеся в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .
$Иллюстрация к заданию, рис.1$
id 172461 балл
Дробно-рациональные функции
Найдите точку минимума функции $y = -\dfrac{x}{x^2 + 256}$ .
id 172472 балла
Тригонометрические уравнения
a) Решите уравнение
$2 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right].$
id 172483 балла
Пирамида (2 часть)
В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$ .
a) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$ .
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$ , если известно, что $BK = 1$ , $KC = 3$ .