В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) через ребро \(AB\) провели плоскость \(\alpha\), образующую сечение \(ABNM\), где точки \(M\) и \(N\) — точки пересечения плоскости \(\alpha\) с боковыми рёбрами \(SC\) и \(SD\) соответственно. Известно, что \(AB = BM = AN = 5MN\). а) Докажите, что точки \(M\) и \(N\) делят рёбра \(SC\) и \(SD\) в отношении \(1:4\), считая от вершины \(S\). б) Найдите косинус угла между плоскостью основания \(ABCD\) и плоскостью \(\alpha\).

а) Прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны, значит, плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(CD\). Получаем, что прямая \(MN\), по которой пересекаются плоскости \(SCD\) и \(\alpha\), параллельна прямой \(CD\). Следовательно, \(\angle SMN = \angle SCD\) и \(\angle SNM = \angle SDC,\) значит, треугольники \(MSN\) и \(CSD\) подобны. Получаем: \(\dfrac{SM}{SC} = \dfrac{SN}{SD} = \dfrac{MN}{CD} = \dfrac{1}{5}.\) Таким образом, \(SM : MC = SN : ND = 1 : 4.\) б) Обозначим середины рёбер \(AB\) и \(CD\) точками \(P\) и \(Q\) соответственно, а точку пересечения плоскости \(SPQ\) с отрезком \(MN\) — точкой \(K\). Прямые \(MN\) и \(CD\) параллельны, поэтому \(SK : KQ = SM : MC = 1 : 4\). Плоскость \(SPQ\) содержит высоту пирамиды и прямую \(PQ\), перпендикулярную прямой \(AB\). Следовательно, плоскость \(SPQ\) перпендикулярна прямой \(AB\), по которой пересекаются плоскости \(ABC\) и \(\alpha\), значит, искомый угол равен углу \(KPQ\). Пусть \(MN = 2a\), тогда \(AB = BM = AN = 5MN = 10a\). Высота \(PK\) равнобедренной трапеции \(ANMB\) равна \(\sqrt{AN^2 - \left(\frac{AB - MN}{2}\right)^2} = 2\sqrt{21}a.\) В треугольнике \(SPQ\) опустим перпендикуляры \(SO\) и \(KT\) на сторону \(PQ\). Тогда точка \(O\) является серединой отрезка \(PQ\), так как \(SO\) — высота правильной пирамиды \(SABCD\). По теореме о пропорциональных отрезках \(OT : TQ = SK : KQ = 1 : 4\). Поскольку \(PQ = BC = 10a\), получаем: \(PO = OQ = 5a\); \(OT = \frac{1}{5} OQ = a; \quad PT = PO + OT = 6a.\) Треугольник \(KPT\) прямоугольный, поэтому \(\cos \angle KPQ = \cos \angle KPT = \dfrac{TP}{KP} = \dfrac{6a}{2\sqrt{21}a} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}.\) Ответ: б) \(\dfrac{\sqrt{21}}{7}\).

Решите неравенство \(\dfrac{27^x - 9^{x+1} + 3^{x+3} - 27}{50x^2 - 110x + 60{,}5} \geq 0.\)

\(\dfrac{27^x - 9^{x+1} + 3^{x+3} - 27}{50x^2 - 110x + 60.5} \geq 0\) Преобразуем слагаемые в числителе: \(27^x = (3^3)^x = 3^{3x}\); \(9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2x+2}\);\(3^{x+3} = 3^x \cdot 27\). \(\dfrac{3^{3x} - 3^{2x+2} + 27\cdot 3^{x} - 27}{50x^2 - 110x + 60.5} \geq 0\) \(\dfrac{(3^x - 3)^3}{50x^2 - 110x + 60.5} \geq 0\) \(\dfrac{(3^x - 3)^3}{50(x - 1{,}1)^2} \geq 0\) По методу рационализации заменим выражение в числителе равносильным по знаку. \(\dfrac{(x - 1)^3}{50(x - 1.1)^2} \geq 0\) Получим ответ: \(x \in [1; 1{,}1) \cup (1{,}1; +\infty)\) Ответ: \(x \in [1; 1{,}1) \cup (1{,}1; +\infty)\)

\(15\) декабря \(2026\) года планируется взять кредит в банке на сумму \(A\) млн рублей на \(24\) месяца. Условия его возврата таковы: – \(1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(3\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца; – со \(2\)-го по \(14\)-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – \(15\)-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на \(15\)-е число предыдущего месяца; – к \(15\) декабря \(2028\) года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно \(A\), если общая сумма платежей в \(2028\) году составит \(17\,925\) тыс. рублей?

По условию долг перед банком по состоянию на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться на \(\dfrac{1000A}{24} = \dfrac{125A}{3}\) тыс. рублей, следовательно, по состоянию на 15 декабря 2027 года и на 15-е число каждого месяца 2028 года долг (в тыс. рублей) должен уменьшаться до нуля следующим образом: \(500A; \quad \dfrac{1375A}{3}; \quad \dfrac{1250A}{3}; \quad \dots; \quad \dfrac{250A}{3}; \quad \dfrac{125A}{3}; \quad 0.\) Первого числа каждого месяца 2028 года долг возрастает на \(3\%\), значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число такова: \(1,03 \cdot 500A; \quad 1,03 \cdot \dfrac{1375A}{3}; \quad \dots; \quad 1,03 \cdot \dfrac{250A}{3}; \quad 1,03 \cdot \dfrac{125A}{3}.\) Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими: \(\dfrac{125A}{3} + 15A; \quad \dfrac{125A}{3} + 13,75A; \quad \dots; \quad \dfrac{125A}{3} + 2,5A; \quad \dfrac{125A}{3} + 1,25A.\) Всего следует выплатить в 2028 году \(12 \cdot \dfrac{170A + 128,75A}{2 \cdot 3} = 597,5A\) тыс. рублей, откуда \(597,5A = 17\,925; \; A = 30.\) Ответ: \(30\).

В параллелограмме \(ABCD\) с острым углом \(BAD\) из вершины \(B\) проведены высоты \(BP\) и \(BQ\), причём точка \(P\) лежит на стороне \(AD\), а точка \(Q\) — на стороне \(CD\). На стороне \(AD\) отмечена точка \(M\). Известно, что \(AM = BP\), \(AB = BQ\). а) Докажите, что \(BM = PQ\). б) Найдите площадь треугольника \(APQ\), если \(AM = BP = 8\), \(AB = BQ = 10\).

a) Заметим, что: \(\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD, \quad \angle ABP = 90^\circ - \angle BAD,\) \(\angle CBQ = 90^\circ - \angle BCD = 90^\circ - \angle BAD.\) Таким образом, \(\angle PBQ = \angle ABC - \angle ABP - \angle CBQ = \angle BAD.\) Значит, треугольники \(MAB\) и \(PBQ\) равны, поскольку \(AM = BP, \quad AB = BQ\) и \(\angle MAB = \angle PBQ.\) Следовательно, \(BM = PQ.\) б) В треугольнике \(ABP\), по теореме Пифагора, получаем: \(AP = \sqrt{AB^2 - BP^2} = 6.\) Пусть \(QH\) — высота треугольника \(BQP\). Тогда треугольники \(ABP\) и \(BQH\) равны, поскольку \(AB = BQ\), \(\angle BAP = \angle QBH\) и \(\angle APB = \angle BHQ = 90^\circ\). Следовательно, \(BH = AP = 6\). Значит, \(PH = BP - BH = 2\). Площади треугольников \(APQ\) и \(APH\) равны, поскольку прямые \(AP\) и \(QH\) параллельны. Площадь треугольника \(APH\) равна \(\dfrac{AP \cdot PH}{2} = \dfrac{6 \cdot 2}{2} = 6.\) Следовательно, площадь треугольника \(APQ\) равна \(6\). Ответ: б) \(6\).

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(\left( |x - a^2| + |x + 1| \right)^2 - 7\left( |x - a^2| + |x + 1| \right) + 4a^2 + 4 = 0\) имеет ровно два различных корня.

Рассмотрим кусочно-линейную функцию \(y = |x - a^2| + |x + 1|\). При \(x < -1\) имеем \(y = -2x + a^2 - 1\), при \(-1 \leq x < a^2\) имеем \(y = a^2 + 1\), при \(x \geq a^2\) имеем \(y = 2x - a^2 + 1\). На промежутке \((-\infty; -1]\) функция убывает, \(y(-1) = a^2 + 1\); на промежутке \([ -1; a^2 ]\) функция принимает постоянное значение \(a^2 + 1\); на промежутке \([a^2; +\infty)\) функция возрастает, \(y(a^2) = a^2 + 1\). Таким образом, значение \(y = a^2 + 1\) принимается при всех \(x\) таких, что \(-1 \leq x \leq a^2\); значения \(y a^2 + 1\) принимается при двух различных \(x\). Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, должны выполняться следующие условия: на промежутке \((a^2 + 1; +\infty)\) уравнение \(y^2 - 7y + 4a^2 + 4 = 0\) должно иметь ровно один корень, причём число \(a^2 + 1\) не должно являться корнем этого уравнения. Эти условия выполнены в двух случаях. В первом случае уравнение \(y^2 - 7y + 4a^2 + 4 = 0\) имеет единственный корень, причём он больше \(a^2 + 1\). Дискриминант уравнения \(D = 33 - 16a^2\) равен нулю при \(a = -\dfrac{\sqrt{33}}{4}\) или \(a = \dfrac{\sqrt{33}}{4}\). При каждом из этих значений \(a\) уравнение имеет ровно один корень \(3,5 > a^2 + 1 = \dfrac{49}{16}\), поэтому \(a = -\dfrac{\sqrt{33}}{4}\) и \(a = \dfrac{\sqrt{33}}{4}\). Во втором случае уравнение \(y^2 - 7y + 4a^2 + 4 = 0\) имеет два корня, причём один из них больше \(a^2 + 1\), а другой меньше \(a^2 + 1\). Это равносильно тому, что \(f(a^2 + 1) < 0,\)где \(f(y) = y^2 - 7y + 4a^2 + 4.\) Поскольку \(f(a^2 + 1) = (a^2 + 1)^2 - 7(a^2 + 1) + 4a^2 + 4 = a^4 - a^2 - 2 = (a^2 - 2)(a^2 + 1),\)неравенство \(f(a^2 + 1) < 0\)равносильно неравенству \((a^2 - 2)(a^2 + 1) < 0,\)откуда получаем: \(-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}.\) Ответ: \(a = -\dfrac{\sqrt{33}}{4}; \; -\sqrt{2} < a < \sqrt{2}; \; a = \dfrac{\sqrt{33}}{4}.\)