Решите неравенство \(\dfrac{\log_2(2-x) - \log_2(x+1)}{\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1} \geq 0.\)

Ограничения: \(\begin{cases}2 - x > 0, \\x + 1 > 0, \\x^2 > 0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x -1, \\x\neq 0\end{cases}\Rightarrow x\in(-1;0)\cup(0;2).\) Запишем исходное неравенство в виде: \(\dfrac{\log_2(2-x) - \log_2(x+1)}{\log_2^2 x^2 + 2\log_2 x^2 + 1} \geq 0;\) \(\dfrac{\log_2(2-x) - \log_2(x+1)}{\left(\log_2 x^2 + 1\right)^2} \geq 0.\) Воспользуемся методом рационализации и заменим числитель и знаменатель равносильными по знаку выражениями. \(\dfrac{(2-1)(2-x-x-1)}{(2-1)(x^2-\frac12)^2}\geq 0;\) \(\dfrac{1-2x}{(x-\frac{\sqrt 2}{2})^2(x+\frac{\sqrt 2}{2})^2}\geq 0;\) \(\dfrac{2x-1}{(x-\frac{\sqrt 2}{2})^2(x+\frac{\sqrt 2}{2})^2}\leq 0.\) Решение данного неравенства: \(x\in \left(-\infty; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right); \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \dfrac{1}{2}\right].\) С учётом ограничения, получим: \(x\in \left(-1; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right); \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; 0\right); \left(0; \dfrac{1}{2}\right].\) Ответ: \(x\in\left(-1; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; 0\right)\cup\left(0; \dfrac{1}{2}\right].\)

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере \(800\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года (\(r\) — целое число); – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2031 года долг должен составить \(200\) тыс. рублей; – в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна \(1480\) тыс. рублей. Найдите \(r\).

По условию долг (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом: \(800; \; 680; \; 560; \; 440; \; 320; \; 200; \; 160; \; 120; \; 80; \; 40; \; 0.\) Пусть \(k = 1 + \frac{r}{100}\). Тогда последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на январь такова: \(800k; \; 680k; \; 560k; \; 440k; \; 320k; \; 200k; \; 160k; \; 120k; \; 80k; \; 40k.\) Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими: \(800k - 680; \; 680k - 560; \; 560k - 440; \; 440k - 320; \; 320k - 200; \; 200k - 160; \; 160k - 120; \; 120k - 80; \; 80k - 40; \; 40k.\) Значит, сумма всех платежей (в тыс. рублей) будет составлять: \(5(560k - 440) + 5(120k - 80) = 3400k - 2600.\) Получаем: \(3400k - 2600 = 1480,\)откуда \(k = 1{,}2\) и \(\ r = 20\). Ответ: \(20\).

Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Известно, что \(AB = CD = 3\), \(BC = DE = 4\). а) Докажите, что \(AC = CE\). б) Найдите длину диагонали \(BE\), если \(AD = 6\).

a) В четырёхугольнике \(ABCD\) острые углы \(ACB\) и \(CAD\) опираются на равные хорды \(AB\) и \(CD\). Следовательно, \(\angle ACB = \angle CAD\), а значит, прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны. Аналогично прямые \(CD\) и \(BE\) параллельны. Значит, четырёхугольники \(ABCD\) и \(BCDE\) являются равнобедренными трапециями. Следовательно, \(AC = BD = CE\). б) Обозначим точку пересечения диагоналей \(AD\) и \(BE\) через \(M\). Четырёхугольник \(BCDM\) является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны параллельны. Значит: \(BM = CD = AB = 3\), \(DM = BC = DE = 4\). Следовательно, треугольники \(ABM\) и \(MDE\) равнобедренные, причём \(\angle BAM = \angle AMB = \angle DME = \angle DEM\). Значит, эти треугольники подобны с коэффициентом подобия \(\frac{DE}{AB} = \frac{4}{3}\), откуда получаем: \(ME = \frac{DE}{AB} \cdot AM = \frac{DE}{AB} \cdot (AD - DM) = \frac{8}{3}\); \(BE = BM + ME = \frac{17}{3}\). Ответ: б) \(\frac{17}{3}\).

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases} \left(x^2-5x-y+3\right) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0, \\ y = 3x + a \end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

Каждое решение уравнения \(\left( x^2 - 5x - y + 3 \right) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0\) либо является решением уравнения \(x - y + 3 = 0\), откуда \(y = x + 3\), либо является решением системы: \(\begin{cases} x^2 - 5x - y + 3 = 0, \\ x - y + 3 \geq 0, \end{cases}\) откуда \(y = x^2 - 5x + 3\) при условии \(x - y + 3 \geq 0\). Для каждого из этих случаев подставим \(y = 3x + a\) и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от \(a\). Первый случай: \(3x + a = x + 3\), откуда \(x = \frac{3 - a}{2}\). Второй случай: \(3x + a = x^2 - 5x + 3\) при условии \(0 \leq x \leq 6\). Получаем квадратное уравнение \(x^2 - 8x - a + 3 = 0\). Дискриминант этого уравнения равен \(64 + 4(a - 3) = 4(a + 13)\). Значит, уравнение \(x^2 - 8x - a + 3 = 0\) имеет два корня при \(a > -13\), имеет единственный корень \(x = 4\) при \(a = -13\) и не имеет корней при \(a -13\) функция \(f(x) = x^2 - 8x - a + 3\) принимает наименьшее значение при \(x = 4\), и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения \(f(x) = 0\) удовлетворяет условию \(0 \leq x \leq 6\) тогда и только тогда, когда \(f(6) \geq 0\); \(-a - 9 \geq 0\), откуда \(a \leq -9\). Аналогично меньший корень уравнения \(f(x) = 0\) удовлетворяет условию \(0 \leq x \leq 6\) тогда и только тогда, когда \(f(0) \geq 0\); \(-a + 3 \geq 0\), откуда \(a \leq 3\). Число \(\frac{3 - a}{2}\) является корнем квадратного уравнения \(f(x) = 0\) при \(\left( \frac{3 - a}{2} \right)^2 - 4(3 - a) - a + 3 = 0,\) откуда \(\left( \frac{a - 3}{2} \right)^2 + 3(a - 3) = 0; \quad (a - 3)(a + 9) = 0,\) то есть при \(a = 3\) и при \(a = -9\). Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при \(a = -13\); \(-9 \leq a < 3\). Ответ: \(a = -13;\ -9 \leq a < 3\).

Из пары натуральных чисел \((a; b)\), где \(a > b\), за один ход получают пару \((a+b; a-b)\). а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары \((100; 1)\) пару, большее число в которой равно \(400\)? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары \((100; 1)\) пару \((806; 788)\)? в) Какое наименьшее \(a\) может быть в паре \((a; b)\), из которой за несколько ходов можно получить пару \((806; 788)\)?

а) Из пары \((100; 1)\) за один ход получается пара \((101; 99)\), за два хода получается пара \((200; 2)\), за три хода получается пара \((202; 198)\), а за четыре хода получается пара \((400; 4)\). б) Заметим, что за один ход из пары \((a; b)\) получается пара \((a + b; a - b)\), а за два хода получается пара \((2a; 2b)\). Следовательно, из пары \((100; 1)\) можно получить только пары \((2^k \cdot 100; 2^k)\) и \((2^k \cdot 101; 2^k \cdot 99)\), где \(k\) — неотрицательное целое число. Число 806 не равно \(2^k \cdot 100\) и \(2^k \cdot 101\), а значит, пару \((806; 788)\) невозможно получить за несколько ходов из пары \((100; 1)\). в) Заметим, что пару \((c; d)\) за один ход можно получить только из пары \(\left( \dfrac{c + d}{2}; \dfrac{c - d}{2} \right)\) при условии, что числа \(c\) и \(d\) одной чётности. Таким образом, пара \((806; 788)\) получается из пары \((797; 9)\), которая получается из пары \((403; 394)\). Пару \((403; 394)\) невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 403 и 394 имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число \(a\) в паре \((a; b)\), из которой за несколько ходов можно получить пару \((806; 788)\), равно 403. Ответ: а) да; б) нет; в) 403.