а) Решите уравнение \(2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x.\) б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]\).

а) \(2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x\) \(2 - 2\cos 2x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x\) \(2 - 2(1 - 2\sin^2 x) + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x\) \(2 - 2 + 4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x\) \(4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x\) \(4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 2\sqrt{3}\sin x - \sqrt{6} = 0\) \(4\sin^2 x + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sin x - \sqrt{6} = 0\) Введём замену: \(t = \sin x\). \(4t^2 + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})t - \sqrt{6} = 0\) \(D = 4(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 16\sqrt{6}=20 + 8\sqrt{6}=4(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\). \(\sqrt{D} = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})\). \(t_1 = \dfrac{-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{8} = \dfrac{4\sqrt{3}}{8} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\); \(t_2 = \dfrac{-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{8} = \dfrac{-4\sqrt{2}}{8} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Обратная замена: \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n\); \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\; x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n\). б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]\)с помощью единичной окружности. Получим числа: \(\dfrac{13\pi}{4}\), \(\dfrac{15\pi}{4}\), \(\dfrac{13\pi}{3}\). Ответ: а) \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\; \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\; -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\; -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}\) б) \(\dfrac{13\pi}{4}\), \(\dfrac{15\pi}{4}\), \(\dfrac{13\pi}{3}\).