Решите неравенство \(\dfrac{\log_2(2-x) - \log_2(x+1)}{\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1} \geq 0.\)

\(\dfrac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1} \geq 0\) Ограничения: \(\begin{cases} 2 - x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases}\), отсюда: \(\begin{cases} x > -1 \\ x 0\) , значит, \(x\ne \pm\dfrac{\sqrt2}{2}\). \(2x-1\le0\) \(x\le\dfrac12\) Отсюда: \(x\in \left(-\infty;-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-\dfrac{\sqrt2}{2};\dfrac12\right)\). С учётом ограничений: Ответ: \(\left(-1; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right); \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; 0\right); \left(0; \dfrac{1}{2}\right].\)

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases} (x^2 - 5x - y + 3) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0, \\ y = 3x + a \end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

Ответ: \(a = -13; -9 \leq a < 3.\)

Из пары натуральных чисел \((a; b)\), где \(a > b\), за один ход получают пару \((a + b; a - b)\). a) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары \((100; 1)\) пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары \((100; 1)\) пару \((806; 788)\)? в) Какое наименьшее \(a\) может быть в паре \((a; b)\), из которой за несколько ходов можно получить пару \((806; 788)\)?

Из пары натуральных чисел \((a; b)\), где \(a > b\), за один ход получают пару \((a + b; a - b)\). a) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары \((100; 1)\) пару, большее число в которой равно 400? Заметим: \(\mathrm{НОД}(a+b, a-b) = \mathrm{НОД}(a, b)\). НОД пары не меняется. Исходная пара \((100; 1)\) имеет \(\mathrm{НОД}(100, 1) = 1\). Если бы мы получили пару \((400; c)\), то должно быть \(\mathrm{НОД}(400, c) = 1\). Но из \((100; 1)\) можно получить только пары, где оба числа одной чётности: \((100;1)\) (чёт; нечёт) \(\rightarrow (101;99)\) (нечёт; нечёт) \(\rightarrow (200;2)\) (чёт; чёт) \(\rightarrow \dots\) Чтобы большее число стало 400 (чётное), второе тоже будет чётным, тогда \(\mathrm{НОД}(400, c) \ge 2\), противоречие. Ответ а): нет. б) Можно ли получить \((806; 788)\)? \(\mathrm{НОД}(806, 788) = \mathrm{НОД}(788, 18) = \mathrm{НОД}(18, 14) = \mathrm{НОД}(14, 4) = \mathrm{НОД}(4, 2) = 2 \neq 1\). НОД исходной пары \(= 1\), НОД сохраняется \(\Rightarrow\) невозможно. Ответ б): нет. в) Какое наименьшее \(a\) может быть в паре \((a; b)\), из которой за несколько ходов можно получить \((806; 788)\)? Будем применять обратные ходы. Прямой ход: \((x; y) \rightarrow (x+y; x-y)\), \(x>y>0\). Обратный ход: из \((u; v)\), \(u>v>0\), получаем \(x = \frac{u+v}{2}\), \(y = \frac{u-v}{2}\). Обратный ход возможен, если \(u\) и \(v\) одной чётности. Идём от \((806; 788)\) назад: \((806; 788)\): \(806\) и \(788\) оба чётные \(\rightarrow\) обратный ход: \(x = \frac{806+788}{2} = 797\), \(y = \frac{806-788}{2} = 9\), получаем \((797; 9)\). \((797; 9)\): оба нечётные \(\rightarrow\) обратный ход: \(x = \frac{797+9}{2} = 403\), \(y = \frac{797-9}{2} = 394\), получаем \((403; 394)\). \((403; 394)\): 403 нечёт, 394 чёт \(\rightarrow\) разная чётность \(\rightarrow\) обратный ход невозможен. Значит, \((403; 394)\) — начальная пара (или одна из начальных). В этой паре большее число \(a = 403\). Проверим, можно ли получить \((806; 788)\) из \((403; 394)\) прямыми ходами: \((403; 394) \rightarrow (403+394; 403-394) = (797; 9) \rightarrow (797+9; 797-9) = (806; 788)\). Да. Меньшее \(a\) получить нельзя, так как любой обратный ход увеличивает большее число. Ответ в): \(a = 403\). Ответ: а) да; б) нет; в) \(403\).