Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$, где $P$ – мощность излучения звезды в ваттах, $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$ – постоянная Стефана-Больцмана, $S$ – площадь поверхности звезды в квадратных метрах, $T$ – температура в Кельвинах. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{16} \cdot 10^{20} \, \text{м}^2$, а мощность её излучения равна $9{,}12 \cdot 10^{25} \, \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24 \, \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3 \, \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}$м. Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ дайте в секундах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 57$км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 8$км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением
$S = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $45$ км от города. Ответ выразите в минутах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_0 \dfrac{c + u}{c - v}$ Гц, где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 14$ м/с и $v = 10$ м/с— скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет ровно $150$ Гц?

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu = 5$ моля воздуха объёмом $V_1 = 20$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{V_1}{V_2}$, где $\alpha = 13,4 \ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ — постоянная, а $T = 300 \ \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $20100$ Дж.