a) Решите уравнение $1 - \cos 2x + \sqrt{3} \sin (x + \pi) = \sqrt{3} - 2 \sin x$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.

а) $1 - \cos 2x + \sqrt{3} \sin (x + \pi) = \sqrt{3} - 2 \sin x$ По формуле приведения $\sin (x + \pi) = -\sin x$. Запишем по формуле косинуса двойного угла$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Получаем: $1 - (1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{3}(-\sin x) = \sqrt{3} - 2 \sin x$ $2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x = \sqrt{3} - 2 \sin x$ $2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x + 2 \sin x - \sqrt{3} = 0$ $2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x + 2 \sin x - \sqrt{3} = 0$ $(2\sin^2 x + 2\sin x) - (\sqrt{3} \sin x + \sqrt{3}) = 0$ $2\sin x (\sin x + 1) - \sqrt{3} (\sin x + 1) = 0$ $(\sin x + 1)(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$ Таким образом: $\sin x = -1$ $\Rightarrow$ $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow$ $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ или $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$с помощью единичной окружности. Получим точки: $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{3}$. Ответ: а) $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z};\quad x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z};\quad x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ . б) $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{3}$.

a) Решите уравнение $2 \cos(\pi + 2x) - 2 - \sqrt{8} \cos x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \cos x$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{\pi}{2}; 2\pi \right]$.

a) $2 \cos(\pi + 2x) - 2 - \sqrt{8} \cos x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \cos x$ Преобразуем по формуле приведения:$\cos(\pi + 2x) = -\cos 2x$. Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Получим: $-2\cos 2x - 2 - 2\sqrt{2} \cos x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3} \cos x$ $-2\cos 2x - 2 - 2\sqrt{2} \cos x - 2\sqrt{3} \cos x - \sqrt{6} = 0$ $2\cos 2x + 2 + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}\cos x + 2\sqrt{3}\cos x = 0$ Заменим по формуле косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. $2(2\cos^2 x - 1) + 2 + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}\cos x + 2\sqrt{3}\cos x = 0$ $4\cos^2 x - 2 + 2 + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}\cos x + 2\sqrt{3}\cos x = 0$ $4\cos^2 x + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}\cos x + 2\sqrt{3}\cos x = 0$ $(4\cos^2 x + 2\sqrt{2}\cos x) + (2\sqrt{3}\cos x + \sqrt{6}) = 0$ $2\cos x(2\cos x + \sqrt{2}) + \sqrt{3}(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$ $(2\cos x + \sqrt{2})(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$ $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{\pi}{2}; 2\pi \right]$с помощью единичной окружности. Получим числа: $\dfrac{3\pi}{4}, \ \dfrac{5\pi}{6}, \ \dfrac{7\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{4}$. Ответ: а) $\pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$; $\pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$. б)$\dfrac{3\pi}{4}, \ \dfrac{5\pi}{6}, \ \dfrac{7\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{4}$

a) Решите уравнение $\sin\left(-2x + \dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(4\pi - x) = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.

а)$\sin\left(-2x + \frac{\pi}{2}\right) - \sin(4\pi - x) = 0$ $\cos2x +\sin x=0$ $1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$ $-2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$ $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ $\sin x = t$ $2t^2 - t - 1 = 0$ $D = 1 + 8 = 9$ $t = \frac{1 \pm 3}{4}$ $t = 1 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{2}$ $\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}$ $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$ б) Выполним отбор корней на промежутке $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$ с помощью единичной окружности. Получим числа $-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{17\pi}{6};\ -\dfrac{13\pi}{6}$. Ответ: а) $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ б)$-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{17\pi}{6};\ -\dfrac{13\pi}{6}$

a) Решите уравнение $\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\dfrac{5\pi}{2} \right]$.

а)$\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0$ $\sqrt{3} \cdot 2\sin x \cos x + 3(\cos^2 x - \sin^2 x) = 0$ $2\sqrt{3}\sin x \cos x + 3\cos^2 x - 3\sin^2 x = 0$ $3\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0$ Разделим на $\cos^2 x\ (\cos x \neq 0):$ $3 + 2\sqrt{3}\tg x - 3\tg^2 x = 0$ $-3\tg^2 x + 2\sqrt{3}\tg x + 3 = 0$ $3\tg^2 x - 2\sqrt{3}\tg x - 3 = 0$ Замена: $t = \tg x$ $3t^2 - 2\sqrt{3}t - 3 = 0$ $D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 12 + 36 = 48$ $\sqrt{D} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ $t = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{6}$ $t_1 = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3},\quad t_2 = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\tg x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad \tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ $x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$ Объединим в одну серию корней: $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}$ б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\dfrac{5\pi}{2} \right]$ с помощью единичной окружности. Ответ: a) $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}$; б) $\dfrac{4\pi}{3}; \ \dfrac{11\pi}{6}; \ \dfrac{7\pi}{3}$.

a) Решите уравнение $\sin x \cdot \cos 2x - \sqrt{2} \cos^2 x + \sin x = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$.

а) $\sin x \cdot \cos 2x - \sqrt{2} \cos^2 x + \sin x = 0$ $\sin x \cdot \cos 2x + \sin x - \sqrt{2} \cos^2 x = 0$ $\sin x (\cos 2x + 1) - \sqrt{2} \cos^2 x = 0$ $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ $\cos 2x + 1 = 2\cos^2 x$ $\sin x \cdot 2\cos^2 x - \sqrt{2} \cos^2 x = 0$ $\cos^2 x (2\sin x - \sqrt{2}) = 0$ $\cos^2 x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin x - \sqrt{2} = 0$ $\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$ с помощью единичной окружности. Получим числа $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{9\pi}{4};\ \dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{4}$. Ответ: a) $\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$; б) $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{9\pi}{4};\ \dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{4}$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 187 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 179162 балла
Тригонометрические уравнения
a) Решите уравнение $1 - \cos 2x + \sqrt{3} \sin (x + \pi) = \sqrt{3} - 2 \sin x$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$ .
id 179262 балла
Тригонометрические уравнения
a) Решите уравнение $2 \cos(\pi + 2x) - 2 - \sqrt{8} \cos x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \cos x$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{\pi}{2}; 2\pi \right]$ .
id 179852 балла
Тригонометрические уравнения
a) Решите уравнение $\sin\left(-2x + \dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(4\pi - x) = 0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$ .
id 179952 балла
Тригонометрические уравнения
a) Решите уравнение $\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\dfrac{5\pi}{2} \right]$ .
id 180022 балла
Тригонометрические уравнения
a) Решите уравнение $\sin x \cdot \cos 2x - \sqrt{2} \cos^2 x + \sin x = 0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$ .