Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром в точке $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ$, $\angle NKL = \angle KLM = 120^\circ$.
a) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = 3$.

Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $DAB$. В нем опущены высоты $BP$ и $BQ$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. На стороне $AD$ отмечена точка $M$ так, что $AM = BP$. Известно, что $AB = BQ$.
a) Докажите, что $BM = PQ$.
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 21$, $AB = BQ = 29$.

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) проведена высота \( CH \) из вершины прямого угла, \( AM \) и \( CN \) — биссектрисы треугольников \( ACH \) и \( BCH \) соответственно.

а) Докажите, что прямые \( AM \) и \( CN \) перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка \( MN \), если \( BC = 26 \) и \( \sin \angle ABC = \dfrac{4}{9} \).

Сумма оснований трапеции равна $17$, а её диагонали равны $8$ и $15$.
a) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Дан ромб $ABCD$. Точки $K$ и $P$ — середины сторон $DC$ и $BC$ соответственно. Проведены $AK$ и $AP$ таким образом, что они пересекают диагональ $BD$ в точках $T$ и $Q$ соответственно.
a) Докажите, что сумма площадей треугольников $DKT$ и $QBP$ равна площади треугольника $AQT$.
б) Известно, что в $TKCQP$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна $12\sqrt{5}$.