В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: \(4\) из Аргентины, \(7\) из Бразилии, \(5\) из Парагвая и \(4\) из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.

Найдём общее число спортсменов: \(4+7+5+4=20.\) Вероятность того, что первым выступит спортсмен из Бразилии, равна отношению числа спортсменов из Бразилии к общему числу спортсменов: \(P=\dfrac{7}{20}=0{,}35.\) Ответ: \(0{,}35\).

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше четырёх задач, равна \(0{,}73\). Вероятность того, что А. верно решит больше трёх задач, равна \(0{,}86\). Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно \(4\) задачи.

\(A\) – событие «учащийся \(А.\) верно решит больше \(4\) задач», \(B\) – событие «учащийся \(А.\) верно решит больше \(3\) задач». По условию: \(P(A)=0{,}73\), \(P(B)=0{,}86\). Событие «учащийся \(А.\) верно решит ровно \(4\) задачи» означает, что он решит больше \(3\) задач, но не больше \(4\) задач. Поэтому вероятность этого события равна разности вероятностей: \(P=0{,}86-0{,}73=0{,}13.\) Ответ: \(0{,}13\).

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события "сумма очков равна \(8\)".

Всего возможных исходов при двух бросках: \(6\cdot6=36.\) Исключим исходы, в которых хотя бы один раз выпала шестёрка: \(36-11=25\) исходов. Благоприятные исходы с суммой \(8\): \((2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2).\) Так как шестёрка не выпала ни разу, остаются: \((3;5),(4;4),(5;3).\) Всего \(3\) благоприятных исхода. Тогда вероятность равна: \(P=\dfrac{3}{25}=0{,}12.\) Ответ: \(0{,}12\).

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна \(0{,}2\). Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна \(0{,}18\). Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

\(A\) – событие «к концу дня в первом автомате закончится кофе», \(P(A)=0{,}2.\) \(B\) – событие «к концу дня во втором автомате закончится кофе», \(P(B)=0{,}2.\) \(A\cap B\) – событие «кофе закончится в двух автоматах», \(P(A\cap B)=0{,}18.\) Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\) Подставим известные значения: \(P(A\cup B)=0{,}2+0{,}2-0{,}18=0{,}22.\) Тогда вероятность того, что кофе останется в двух автоматах, равна вероятности противоположного события: \(P=1-0{,}22=0{,}78.\) Ответ: \(0{,}78\).