Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На рисунке изображен график функции $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-4; 8)$. Найдите точку экстремума функции $f(x)$, принадлежащую отрезку $[1; 6]$.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30 \, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ см до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение$\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$
На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону$\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2},$где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega = 15$ град/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 6$ град/$\text{мин}^2$— угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2250^\circ$. Ответ дайте в минутах.

Имеются два сосуда. Первый содержит $40$ кг, а второй — $25$ кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $30\%$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $36\%$ кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

Первый час автомобиль ехал со скоростью $115$ км/ч, следующие три часа — со скоростью $45$ км/ч, а затем два часа — со скоростью $40$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.