a) Решите уравнение $16^{\sin x} + 16^{\sin(x+\pi)} = \dfrac{17}{4}.$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right].$

а) $16^{\sin x} + 16^{\sin(x+\pi)} = \frac{17}{4}$ $\sin(x+\pi) = -\sin x$ $16^{\sin x} + 16^{-\sin x} = \frac{17}{4}$ Замена $t = 16^{\sin x} > 0$. $t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{17}{4}$ $t^2 + 1 = \dfrac{17}{4}t$ $4t^2 + 4 = 17t$ $4t^2 - 17t + 4 = 0$ $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$ $\sqrt{D} = 15$ $t = \frac{17 \pm 15}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$ $t_1 = \frac{32}{8} = 4,\quad t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ $16^{\sin x} = 4 \quad \text{или} \quad 16^{\sin x} = \frac{1}{4}$ $4^{2\sin x} = 4^1 \quad \text{или} \quad 4^{2\sin x} = 4^{-1}$ $2\sin x = 1 \quad \text{или} \quad 2\sin x = -1$ $\sin x = \frac12 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac12$ $\sin x = \frac12 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ $\sin x = -\frac12 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x =- \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ Иначе: $\pm\dfrac{\pi}{6} + \pi \, n \in \mathbb{Z}$ б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ с помощью единичной окружности. Получим числа $\dfrac{11\pi}{6},\quad \dfrac{13\pi}{6},\quad \dfrac{17\pi}{6}$. Ответ: a) $\pm\dfrac{\pi}{6} + \pi \, n \in \mathbb{Z}$ б) $\dfrac{11\pi}{6},\quad \dfrac{13\pi}{6},\quad \dfrac{17\pi}{6}$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 198 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 195551 балл
Прямая (линейная функция)
На рисунке изображён график функции вида $f(x) = kx + b$ . Найдите значение $f(7)$ .
$Иллюстрация к заданию, рис.1$
id 195641 балл
Прямая (линейная функция)
На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$ . Найдите абсциссу точки $A$ .
$Иллюстрация к заданию, рис.1$
id 195651 балл
Степенные функции
Найдите точку минимума функции $y = x^{\frac{3}{2}} - 3x + 9$ .
id 195661 балл
Тригонометрические функции
Найдите наименьшее значение функции $y = 10 \cos x + \dfrac{36x}{\pi} - 6$ на отрезке $\left[ -\dfrac{2\pi}{3}; 0 \right]$ .
id 195942 балла
Показательные уравнения, сводящиеся к тригонометрическим
a) Решите уравнение $16^{\sin x} + 16^{\sin(x+\pi)} = \dfrac{17}{4}.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right].$