Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(|x^2 + a^2 - 6x + 4a| = 2x - 2a\) имеет ровно два различных корня.

Ответ: \(\left( -8; -1 - \sqrt{5} \right) \cup (0; 1) \cup \left( \sqrt{5} - 1; 2 \right)\)

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на \(10\), а затем к получившейся сумме прибавляют \(3\). a) Могло ли в результате такой операции получиться число \(224\)? б) Могло ли в результате такой операции получиться число \(314\)? в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

а) Цифра десятков в числе \(211\) равна \(1\). Следовательно, в результате операции из этого числа получится \(211 + 1 \cdot 10 + 3 = 224\) Ответ: да, может. б) Пусть число равно \(100a + 10b + c\), где \(a, b\) и \(c\) — цифры и \(a \neq 0\). Тогда после применения операции к этому числу из него получится \(100a + 20 \cdot b + c + 3\) У числа \(314\) число десятков нечётно, но в формуле число десятков равно \(2 \cdot b\), а значит \(c + 3 \geq 10\). Тогда \(c + 3 = 14\), и \(c = 11\), но \(c\) — цифра, противоречие. Ответ: нет, не может. в) Напишем, чему равно отношение получившегося числа к исходному, и выделим целую часть: \(\dfrac{100a + 20b + c + 3}{100a + 10b + c} = 1 + \dfrac{10b + 3}{100a + 10b + c}\) Значит, наибольшее отношение будет при минимальных \(a\) и \(c\), то есть \(a = 1\) и \(c = 0\). Подставим и выделим целую часть: \(1 + \dfrac{10b + 3}{100 + 10b} = 1 + \dfrac{10b + 100 - 97}{100 + 10b} = 2 - \dfrac{97}{100 + 10b}\) Полученное выражение будет наибольшим при максимальном \(b = 9\). То есть начальное число \(190\), а получившееся после операции \(283\). Их отношение равно \(\dfrac{283}{190}\). Ответ: \(\dfrac{283}{190}\). Ответ: а) Да; б) Нет; в) \(\dfrac{283}{190}\).

На доске написано \(30\) различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру \(2\), или на цифру \(6\). Сумма написанных чисел равна \(2454\). a) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на \(2\) и на \(6\)? б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на \(6\)? в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на \(6\), может быть на доске?

а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на \(2\), и чисел, оканчивающихся на \(6\), то чисел каждого вида по \(15\) штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа \(15 \cdot 2 + 15 \cdot 6 = 120\), то есть последняя цифра должна быть равна \(0\), что противоречит условию (сумма равна \(2454\)). Значит, поровну быть не может. Ответ: нет. б) Рассмотрим все идущие подряд \(30\) натуральных чисел, оканчивающихся на \(2\), начиная с самого маленького: \(2, 12, 22, 32, \dots, 282, 292\) Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(10\). Следовательно, их сумма равна \(\frac{2 + 292}{2} \cdot 30 = 4410\) Заметим, что это наименьшая возможная сумма \(30\)-ти различных чисел, оканчивающихся на \(2\). Чтобы получить сумму \(2454\), нужно уменьшить \(4410\) на \(1956\). Каждая замена числа, оканчивающегося на \(2\), на число, оканчивающееся на \(6\), изменяет сумму на величину \((новое) - (старое)\). Если заменить одно число, то разность должна быть \(-1956\), то есть \(6 - x = -1956 \Rightarrow x = 1962\), но такого числа, оканчивающегося на \(2\), нет (максимальное \(292\)). Однако в условии спрашивается, может ли быть ровно одно число, оканчивающееся на \(6\)? Это означало бы \(29\) чисел на \(2\) и \(1\) число на \(6\). Тогда минимальная сумма для \(29\) чисел на \(2\) (начиная с \(2,12,\dots,282\)) плюс минимальное число на \(6\) (\(6\)) равна: \(\frac{2+282}{2} \cdot 29 + 6 = \frac{284}{2} \cdot 29 + 6 = 142 \cdot 29 + 6 = 4118 + 6 = 4124 > 2454.\) Даже минимальная сумма слишком велика, значит, ровно одно число, оканчивающееся на \(6\), невозможно. Ответ: нет. в) Назовём числа, оканчивающиеся на \(2\), «числа Д», а оканчивающиеся на \(6\) — «числа Ш». Возьмём \(30\) чисел Д: \(2, 12, \dots, 292\). Сумма = \(4410\). Уберём \(k\) самых больших чисел Д и добавим \(k\) самых маленьких чисел Ш (\(6, 16, 26, \dots\)). Сумма станет: \(4410 - \sum_{i=0}^{k-1} (292 - 10i) + \sum_{i=0}^{k-1} (6 + 10i) = 4410 - 292k + 10 \cdot \frac{(k-1)k}{2} + 6k + 10 \cdot \frac{(k-1)k}{2}\) Упростим: \(4410 - 292k + 5k(k-1) + 6k + 5k(k-1) = 4410 - 286k + 10k(k-1) = 4410 - 286k + 10k^2 - 10k = 4410 - 296k + 10k^2\). При \(k=6\): \(4410 - 1776 + 360 = 2994 > 2454\). При \(k=11\): \(4410 - 3256 + 1210 = 2364 < 2454\). Значит, \(11\) чисел Ш дают сумму меньше нужной (\(2364\)). Чтобы получить \(2454\), нужно увеличить сумму на \(90\), заменив одно из оставшихся чисел Д на другое число Д (оба оканчиваются на \(2\)). Например, уберём \(182\) и добавим \(272\): разность \(272 - 182 = 90\). Тогда сумма станет \(2364 + 90 = 2454\). Итак, пример: \(11\) чисел Ш: \(6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96, 106\); и \(19\) чисел Д, среди которых \(2, 12, 22, \dots, 172, 272\) (и другие, чтобы всего \(19\)). Таким образом, наименьшее возможное количество чисел, оканчивающихся на \(6\), равно \(11\). Ответ: \(11\). Ответ: а)Нет; б)Нет; в)\(11\).