Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

a) Решите уравнение $\sqrt{2\cos^3x - \sin^2x - 2\cos x - \sin x} = \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

В пирамиде $SABCD$ с высотой $SA$ основанием является квадрат $ABCD$, точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.
a) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит диагональ основания $AC$ в отношении $1:2$.
б) Найдите угол между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB = 2\sqrt{3}$, $SA = 6$.

Решите неравенство
$\dfrac{9^x - 3^{x+2} + 8}{\log^2_{\frac{1}{6}}(5^x - 2) + \log_{\frac{1}{6}}(5^x - 2)^2 + 1} \leq 0.$

В июне $2028$ года Пётр Иванович планирует взять кредит в банке на $5$ лет в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе каждого года долг увеличивается на $20\%$ от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по июнь в каждый из $2029$, $2030$ и $2031$ годов необходимо выплатить только проценты по кредиту, начисленные в январе соответствующего года;
- в период с февраля по июнь в каждый из $2032$ и $2033$ годов платежи по кредиту равные, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту не превысит $10$ млн рублей.

В прямоугольную трапецию $ABCD$ с большим основанием $CD$ и прямыми углами $A$ и $D$ вписана окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$. Точка $G$ — точка касания данной окружности и стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Биссектриса угла $ADC$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает её в точке $N$.
a) Докажите, что $BN = (\sqrt{2} - 1)R$.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $BNOG$, если $R = 6$.