Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Ребро $AB$ основания $ABCD$ правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $2\sqrt{6}$, а высота $AA_1$ равна $2\sqrt{5}$. На рёбрах $AB$ и $C_1D_1$ отметили точки $N$ и $K$ соответственно так, что $N$ — середина ребра, а $C_1K : KD_1 = 2 : 1$. Через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $BD$ провели плоскость $\alpha$.
a) Докажите, что прямая $CA_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке $C$ и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью $\alpha$.

Решите неравенство $\log_{0,5} \dfrac{x - 3}{x + 3} + 2 \log_4 \left( x^2 - 9 \right) \geq 5.$

В январе $2028$ года Михаил планирует открыть вклад на $3$ года на целое число миллионов рублей, а в январе $2029$ и $2030$ годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по $1$ млн рублей. Банк предложил Михаилу два варианта условий по вкладу.
В обоих вариантах условий в декабре каждого года действия вклада начисляются проценты на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.
По первому варианту процентная ставка по годам составляет $10$, $15$ и $20$ процентов соответственно, а по второму — $20$, $15$ и $10$ процентов.
Михаил выбрал наиболее выгодное предложение. Найдите наименьший первоначальный взнос по вкладу, если при закрытии вклада через $3$ года итоговая сумма должна составить не менее $11{,}5$ млн рублей. Ответ дайте в миллионах рублей.

Точка $M$ — середина стороны $BC$ ромба $ABCD$, $DB = DM$.
a) Докажите, что косинус острого угла ромба равен $0{,}75$.
б) На луче $BH$, где $BH$ — высота треугольника $BDM$, отметили такую точку $P$, что в четырёхугольник $ABPD$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB = 4$.

Найдите все неотрицательные значения $a$, при каждом из которых уравнение
$|x - a| + |2x + 3a| = 1 - ax$
имеет ровно одно решение.