Для набора \(60\) различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора. a) Может ли одним из этих чисел быть число \(-400\)? б) Может ли одним из этих чисел быть число \(400\)? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

\(a)\) Распишем последовательность чисел в порядке возрастания: \(a_1 a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60}\) Пусть наш набор чисел начинается с \(-400\): \(-400; -399; -398; -397; -396; \dots; -346; -345; -344; -343; -342; -341\) Получаем: \(-400 + (-399) = -799\) \(-346 + (-345) + (-344) + (-343) + (-342) + (-341) = \left( \frac{-346 + (-341)}{2} \right) \cdot 6 = (-687) \cdot 3 = -2061\) \(-799 > -2061\) Да, может: \(-400; -399; -398; -397; -396; \dots; -346; -345; -344; -343; -342; -341\) \(б)\) Рассмотрим последовательность чисел из пункта a), но вместо \(-341\) поставим \(400\): \(-400; -399; -398; -397; -396; \dots; -346; -345; -344; -343; -342; 400\) Получаем: \(-400 + (-399) = -799\) \(-346 + (-345) + (-344) + (-343) + (-342) + 400 = \left( \frac{-346 + (-342)}{2} \right) \cdot 5 + 400 = -1720 + 400 = -1320\) \(-799 > -1320\) Да, может: \(-400; -399; -398; -397; -396; \dots; -346; -345; -344; -343; -342; 400\) \(в)\) Чтобы выполнялось условие задачи необходимо, чтобы было некое количество отрицательных чисел, поэтому нужно максимизировать сумму, подобрав числа так, чтобы ограничение ещё выполнялось. А сумма будет наибольшей, когда числа находятся в арифметической прогрессией с наименьшим шагом, то есть последовательные числа, находящиеся максимально близко друг к другу. Запишем последовательность в общем виде: \(a_1 + a_1 + 1 > a_1 + 54 + a_1 + 55 + a_1 + 56 + a_1 + 57 + a_1 + 58 + a_1 + 59\) \(2 \cdot a_1 + 1 > 6 \cdot a_1 + 339\) \(4 \cdot a_1 (-31) + (-30) + (-29) + (-28) + (-27) + (-26)\) Получаем: \(-85 + (-84) = -169\) \((-31) + (-30) + (-29) + (-28) + (-27) + (-26) = \frac{-31 + (-26)}{2} \cdot 6 = -57 \cdot 3 = -171\) \(-169 > -171 \rightarrow\) условие выполнено Найдем сумму чисел для нашей последовательности максимальных чисел: \((-85 + (-26)) \cdot 2 = -111 \cdot 30 = -3330\) Но если изменить последнее значение с \(-26\) на \(-25\), получим: \(-85; -84; -83; -82; -81; \dots; -27; -25\) \(-169 > -170 \rightarrow\) условие выполнено Сумма чисел равна: \((-85 + (-27)) \cdot 2 = -59 + (-25) = -3304 - 25 = -3329\) Получаем, что наибольшая сумма чисел данного набора равна \(-3329\). Ответ: а) да б) да в) \(-3329\)

В парке \(500\) деревьев, из них берёз — \(120\), сосен — \(180\), а остальные — дубы. Найдите вероятность того, что случайно выбранное дерево окажется дубом.

Найдём количество дубов: \(500-(120+180)=200\) деревьев. Тогда искомая вероятность равна: \(P=\dfrac{200}{500}=0{,}4\). Ответ: \(0{,}4\).

В коробке \(80\) конфет. Из них \(25\) — шоколадные, \(35\) — карамельные, а остальные — леденцы. Найдите вероятность того, что случайно взятая конфета окажется леденцом.

Найдём количество леденцов: \(80-(25+35)=20\) конфет. Тогда искомая вероятность равна: \(P=\dfrac{20}{80}=0{,}25\). Ответ: \(0{,}25\).

В спортивном лагере \(150\) детей. В трёх отрядах по \(40\) человек, остальные — в четвёртом отряде. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ребёнок окажется из четвёртого отряда.

Найдём количество детей в первых трёх отрядах: \(3\cdot40=120\) детей. Тогда в четвёртом отряде: \(150-120=30\) детей. Искомая вероятность равна: \(P=\dfrac{30}{150}=0{,}2\). Ответ: \(0{,}2\).

В библиотеку привезли \(600\) учебников. На трёх полках разместили по \(140\) учебников, остальные поместили на четвёртую полку. Найдите вероятность того, что случайно взятый учебник окажется с четвёртой полки.

Найдём количество учебников на трёх полках: \(3\cdot140=420\) учебников. Тогда на четвёртой полке: \(600-420=180\) учебников. Искомая вероятность равна: \(P=\dfrac{180}{600}=0{,}3\). Ответ: \(0{,}3\).