Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases} (|x| - a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 9a^2 - 2y - 1, \\ y + 1 = 6\sqrt{a} \end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

Ответ: \(\left( \sqrt{13} - 2; 4 \right) \cup \{1, 4, 4\}\)

У Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры, то потребуется \(k\) кляссеров, причём \(5\) ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется \(k+2\) кляссеров и также \(5\) ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше \(150\), но меньше \(160\) ячеек, а в маленьком — больше \(100\), но меньше \(120\) ячеек. a) Может ли \(k\) быть равно \(3\)? б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича? в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича? * Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

а) Пусть в большом кляссере \(B\) ячеек, в маленьком — \(M\) ячеек. По условию: \(150 0\) ): \(B = \frac{k+2}{k} \cdot M = \left(1 + \frac{2}{k}\right) \cdot M\). Так как \(B\) целое, \(M\) целое, то \(\frac{2M}{k}\) должно быть целым. Пусть \(k=3\). Тогда \(B = \frac{5}{3} M\). Значит, \(M\) кратно \(3\). При \(M=102\): \(B=170\) — не подходит (\(150<B<160\)). При \(M=105\): \(B=175\) — нет. При \(M=99\) — \(M<100\) — нет. Других вариантов нет, так как \(M\) должно быть между \(100\) и \(120\). Проверим \(M=108\): \(B=180\) — нет. Значит, \(k=3\) невозможно. Ответ: нет. б) Из \(kB = (k+2)M\) получаем \(B = \frac{k+2}{k} M\). Условия: \(150 < B < 160\), \(100 < M < 120\). Подставляем: \(150 < \frac{k+2}{k} M < 160\) \(\Rightarrow\) \(\frac{150k}{k+2} < M < \frac{160k}{k+2}\). Перебираем возможные \(k\) (натуральные, \(k \ge 1\)): \(k=4\): \(\frac{150\cdot4}{6}=100\), \(\frac{160\cdot4}{6} \approx 106.67\) \(\Rightarrow\) \(M \in (100,106.67)\), то есть \(M=101,102,103,104,105,106\). \(B = \frac{6}{4}M = 1.5 M\) должно быть целым \(\Rightarrow\) \(M\) чётно. Подходят \(M=102,104,106\). \(M=102\): \(B=153\) (подходит, \(150<153<160\)), \(N = 4\cdot153 - 5 = 612 - 5 = 607\). \(M=104\): \(B=156\), \(N = 4\cdot156 - 5 = 624 - 5 = 619\). \(M=106\): \(B=159\), \(N = 4\cdot159 - 5 = 636 - 5 = 631\). \(k=5\): \(\frac{150\cdot5}{7} \approx 107.14\), \(\frac{160\cdot5}{7} \approx 114.29\) \(\Rightarrow\) \(M=108,\dots,114\). \(B = \frac{7}{5}M\) целое \(\Rightarrow\) \(M\) кратно \(5\): \(M=110\), \(B=154\), \(N = 5\cdot154 - 5 = 770 - 5 = 765\). \(k=6\): \(\frac{150\cdot6}{8}=112.5\), \(\frac{160\cdot6}{8}=120\) \(\Rightarrow\) \(M=113,\dots,119\). \(B = \frac{8}{6}M = \frac{4}{3}M\) целое \(\Rightarrow\) \(M\) кратно \(3\): \(M=114,117\). \(M=114\): \(B=152\), \(N = 6\cdot152 - 5 = 912 - 5 = 907\). \(M=117\): \(B=156\), \(N = 6\cdot156 - 5 = 936 - 5 = 931\). \(k=7\): \(\frac{150\cdot7}{9} \approx 116.67\), \(\frac{160\cdot7}{9} \approx 124.44\) \(\Rightarrow\) \(M=117,\dots,124\). \(B = \frac{9}{7}M\) целое \(\Rightarrow\) \(M\) кратно \(7\): \(M=119\), \(B=153\), \(N = 7\cdot153 - 5 = 1071 - 5 = 1066\). \(k=8\): \(\frac{150\cdot8}{10}=120\), \(\frac{160\cdot8}{10}=128\) \(\Rightarrow\) нижняя граница \(M>120\) (не включая), но \(M<120\) по условию, решений нет. Наименьшее \(N\) из полученных: \(607\) (при \(k=4\), \(M=102\), \(B=153\)). Ответ: наименьшее количество монет равно \(607\). в) Наибольшее количество монет — при наибольшем возможном \(k\), но при выполнении условий \(150 < B < 160\) и \(100 < M < 120\). Из \(B = \frac{k+2}{k} M\) и \(M = \frac{k t}{2}\), \(B = t \cdot \frac{k+2}{2}\). Из \(150 < B < 160\): \(\frac{300}{k+2} < t < \frac{320}{k+2}\). Из \(100 < M < 120\): \(\frac{200}{k} < t < \frac{240}{k}\). \(t\) целое, \(k t\) чётное. Перебираем \(k\) от больших к меньшим, чтобы \(N = k B - 5\) было максимальным. При \(k=10\): \(\frac{300}{12} = 25\), \(\frac{320}{12} \approx 26.67\) ⇒ \(t=26\)? \(\frac{200}{10}=20\), \(\frac{240}{10}=24\) ⇒ \(t\) должно быть \( 22.22\), т.е. \(t=23,24,25,26\). Пересечение с \(28,29\) — пусто. \(k=8\): \(\frac{300}{10}=30\), \(\frac{320}{10}=32\) ⇒ \(t=30,31,32\). \(\frac{200}{8}=25\), \(\frac{240}{8}=30\) ⇒ \(t 25\), т.е. \(t=26,27,28,29\). Пересечение с \(30,31,32\) — пусто. \(k=7\): \(\frac{300}{9} \approx 33.33\), \(\frac{320}{9} \approx 35.56\) ⇒ \(t=34,35\). \(\frac{200}{7} \approx 28.57\), \(\frac{240}{7} \approx 34.29\) ⇒ \(t=29,30,31,32,33,34\). Пересечение: \(t=34\). Проверяем чётность \(k t = 7 \cdot 34 = 238\) — чётно, \(M = \frac{238}{2} = 119\), \(B = 119 + 34 = 153\). \(N = 7 \cdot 153 - 5 = 1071 - 5 = 1066\). \(k=6\): \(\frac{300}{8}=37.5\), \(\frac{320}{8}=40\) ⇒ \(t=38,39\). \(\frac{200}{6} \approx 33.33\), \(\frac{240}{6}=40\) ⇒ \(t=34,35,36,37,38,39,40\). Пересечение: \(t=38,39\). \(t=38\): \(k t = 228\) чётно, \(M=114\), \(B=114+38=152\), \(N=6\cdot152-5=912-5=907\). \(t=39\): \(k t=234\) чётно, \(M=117\), \(B=117+39=156\), \(N=6\cdot156-5=936-5=931\). \(k=5\): \(\frac{300}{7} \approx 42.86\), \(\frac{320}{7} \approx 45.71\) ⇒ \(t=43,44,45\). \(\frac{200}{5}=40\), \(\frac{240}{5}=48\) ⇒ \(t=41,42,43,44,45,46,47\). Пересечение: \(t=43,44,45\). \(t=43\): \(k t=215\) нечётно — не подходит. \(t=44\): \(k t=220\) чётно, \(M=110\), \(B=110+44=154\), \(N=5\cdot154-5=770-5=765\). \(t=45\): \(k t=225\) нечётно — нет. \(k=4\): \(\frac{300}{6}=50\), \(\frac{320}{6} \approx 53.33\) ⇒ \(t=51,52,53\). \(\frac{200}{4}=50\), \(\frac{240}{4}=60\) ⇒ \(t=51,52,\dots,59\). Пересечение: \(t=51,52,53\). \(t=51\): \(k t=204\) чётно, \(M=102\), \(B=102+51=153\), \(N=4\cdot153-5=612-5=607\) — меньше, чем \(1066\). \(t=52\): \(M=104\), \(B=156\), \(N=4\cdot156-5=624-5=619\). \(t=53\): \(M=106\), \(B=159\), \(N=4\cdot159-5=636-5=631\). Наибольшее \(N\) получилось при \(k=7\), \(N=1066\). Проверим, может ли быть \(k=8\)? Нет, не подошло. \(k=9\) — нет. \(k=10\) — нет. Значит, максимальное \(N = 1066\). Ответ: \(1066\) монет. Ответ: а) нет; б) \(607\); в) \(1066\).