Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на $11$ месяцев. Условия его возврата таковы:
- $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $1\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $10$-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
- $15$-го числа $10$-го месяца долг составит $300$ тысяч рублей;
- к $15$-му числу $11$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит $1388$ тысяч рублей?

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $34\,150$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
a) Докажите, что $AB \cdot KH = BC \cdot C_1H$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC$, если $AB = 6$, $BC = 4$, $AC = 5$.

На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1 : C_1B = 21 : 10$, $BA_1 : A_1C = 2 : 3$, $AB_1 : B_1C = 2 : 5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
a) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC = 63$, $BC = 25$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(5x - 2) \cdot \ln(x + a) = (5x - 2) \cdot \ln(2x - a)$
имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.