a) Решите уравнение \(\dfrac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0.\) б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ 0; \dfrac{3\pi}{2} \right].\)

\(\dfrac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0\) ОДЗ: \(\sin x > 0 \text{ и } 2\cos x + \sqrt{3} \neq 0\) \(\sin x > 0 \Rightarrow x \in (2\pi n;\ \pi + 2\pi n),\ n \in \mathbb{Z}\) \(\cos x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x \neq \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \(\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x) = 0\) \(\log_2(\sin x) \cdot \bigl( \log_2(\sin x) + 1 \bigr) = 0\) \(\log_2(\sin x) = 0 \quad \text{или} \quad \log_2(\sin x) = -1\) \(\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2}\) \(\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) \(\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}\) Проверка ОДЗ по \(\sin x > 0:\) \(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\) — да, \(\sin = 1 > 0\) \(\frac{\pi}{6} + 2\pi m\) — да, \(\sin = 1/2 > 0\) \(\frac{5\pi}{6} + 2\pi m\) — да, \(\sin = 1/2 > 0\) Проверка ОДЗ по \(\cos x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}:\) \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \Rightarrow \cos\frac{5\pi}{6}= -\frac{\sqrt{3}}{2}\) — посторонний корень \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow \cos = 0 \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}\) — подходит \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m \Rightarrow \cos = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}\) — подходит Таким образом: \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m,\quad k,m \in \mathbb{Z}\) б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ 0; \dfrac{3\pi}{2} \right]\) с помощью единичной окружности. Получим точки \(\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2}\). Ответ: a) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m,\ k,m \in \mathbb{Z}\) б) \(\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2}\).

Решите неравенство \(\dfrac{8^{x+\frac{2}{3}} - 9 \cdot 4^{x+\frac{1}{2}} + 13 \cdot 2^x - 13}{4^{x+\frac{1}{2}} - 9 \cdot 2^x + 4} \leq 2^{x+1} - \dfrac{1}{2^x - 2} + \dfrac{3}{2^{x+1} - 1}.\)

\(\dfrac{8^{x+\frac{2}{3}} - 9 \cdot 4^{x+\frac{1}{2}} + 13 \cdot 2^x - 13}{4^{x+\frac{1}{2}} - 9 \cdot 2^x + 4} \leq 2^{x+1} - \dfrac{1}{2^x - 2} + \dfrac{3}{2^{x+1} - 1}.\) Пусть \(t = 2^x, \quad t > 0.\) Преобразуем степени: \(8^{x+\frac{2}{3}} = (2^3)^{x+\frac{2}{3}} = 2^{3x+2} = 4 \cdot 2^{3x} = 4t^3.\) \(4^{x+\frac{1}{2}} = (2^2)^{x+\frac{1}{2}} = 2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x} = 2t^2.\) \(2^{x+1} = 2t.\) Неравенство примет вид: \(\dfrac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \leq 2t - \dfrac{1}{t - 2} + \dfrac{3}{2t - 1}.\) Переносим всё в левую часть: \(\dfrac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{(2t - 1)(t - 4)} - 2t + \dfrac{1}{t - 2} - \dfrac{3}{2t - 1} \leq 0.\) Приводим к общему знаменателю\((2t - 1)(t - 2)(t - 4)\ne 0\), следовательно: \(t\ne\dfrac12\), \(t\ne 2\) и \(t\ne 4\). \(\dfrac{2(t-3)}{(t - 2)(t - 4)} \leq 0.\) Отсюда: \(t\in\left(-\infty;\dfrac12\right)\cup\left(\dfrac12;2\right)\cup [3;4)\) Вернёмся к переменной \(x\). \(2^x=\dfrac12\), следовательно, \(x=-1\); \(2^x=2\), следовательно, \(x=1\); \(2^x=3\), следовательно, \(x=\log_23\); \(2^x=4\), следовательно, \(x=2\). Тогда ответ к неравенству запишется так: \(x\in(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2)\) Ответ: \((-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2)\)

Решите неравенство \(\log_3^2 (25 - x^2) - 3 \log_3 (25 - x^2) + 2 \geq 0.\)

\(\log_3^2(25 - x^2) - 3 \log_3(25 - x^2) + 2 \geq 0.\) Запишем ограничения: \(25 - x^2 > 0\) \(x^2 < 25\) \(-5 < x < 5\). Пусть \(t = \log_3(25 - x^2).\) Тогда неравенство принимает вид: \(t^2 - 3t + 2 \geq 0.\) \((t - 1)(t - 2) \geq 0.\) Решаем методом интервалов: \(t \in (-\infty; 1] \cup [2;+\infty).\) Возвращаемся к переменной \(x\): 1) \(\log_3(25 - x^2) \leq 1.\) \(25 - x^2 \leq 3.\) \(-x^2 \leq -22\) \(x^2 \geq 22\). \(|x| \geq \sqrt{22}.\) \(x \in (-\infty; -\sqrt{22}] \cup [\sqrt{22}; +\infty).\) 2) \(\log_3(25 - x^2) \geq 2.\) \(25 - x^2 \geq 9.\) \(-x^2 \geq -16\) \(x^2 \leq 16\). \(|x| \leq 4.\) \(x \in [-4; 4].\) Объединяем решения и накладываем ограничение, получим: \(x \in (-5; -\sqrt{22}] \cup [-4; 4] \cup [\sqrt{22}; 5).\) Ответ: \((-5; -\sqrt{22}] \cup [-4; 4] \cup [\sqrt{22}; 5)\)