Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В июне $2026$ года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $6,6$ млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле $2027$, $2028$ и $2029$ годов долг остаётся равным $6,6$ млн рублей;
– суммы выплат в $2030$ и $2031$ годах равны.
Найдите $r$, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит $12,6$ млн рублей.

В июле $2026$ года планируется взять кредит в банке на сумму $250\,000$ рублей. Условия возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено $150\,000$ рублей, а во второй год – $180\,000$ рублей.

Строительство нового завода стоит $78$ млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $(0,5x^2 + 2x + 6)$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2 + 2x + 6)$. Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не больше чем за $3$ года?

$15$ декабря $2026$ года планируется взять кредит в банке на сумму $18$ млн рублей на $60$ месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря $2031$ года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно $r$, если общая сумма платежей в $2031$ году составила $3951$ тыс. рублей?

Строительство нового завода стоит $100$ млн рублей. Затраты на производство $x$ тысяч единиц продукции на таком заводе равны $Z = 0,5x^2 + x + 7$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $q$ тысяч рублей за единицу, то прибыль в млн рублей за один год составит $qx - Z$. Когда завод будет построен, планируется выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $q$ строительство завода окупится не более чем за $4$ года?