Решите неравенство $\dfrac{2^{3x} - 9 \cdot 4^x + 3 \cdot 2^{x+3} - 16}{x - 2} \geq 0.$

$\dfrac{2^{3x} - 9 \cdot 4^x + 3 \cdot 2^{x+3} - 16}{x - 2} \geq 0$ $2^{3x} = (2^x)^3,\quad 4^x = (2^x)^2,\quad 2^{x+3} = 8 \cdot 2^x$ $\text{Пусть } t = 2^x > 0$ Получим:$t^3 - 9t^2 + 3 \cdot 8t - 16 = t^3 - 9t^2 + 24t - 16$ Разложим на множители. Проверим $t = 1:\ 1 - 9 + 24 - 16 = 0 \Rightarrow t-1 \text{ — множитель}$ $\text{Разделим } t^3 - 9t^2 + 24t - 16 \text{ на } t-1:$ $(t-1)(t^2 - 8t + 16) = (t-1)(t-4)^2$ Неравенство примет вид: $\dfrac{(2^x - 1)(2^x - 4)^2}{x - 2} \geq 0$ Заменим множители в числителе равносильными по знаку по методу рационализации. $\dfrac{(x -0)(x - 2)^2}{x - 2} \geq 0$ С учётом ограничения:$(-\infty;0] \cup (2;+\infty)$ Ответ: $\ (-\infty; 0] \cup (2; +\infty)$

Решите неравенство $7 \log_3 \left( x^2 - 7x + 12 \right) \leq 8 + \log_3 \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4}.$

1. Запишем ограничения. $\begin{cases} x^2 - 7x + 12 > 0,\\[4pt] \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4} > 0. \end{cases}$ Разложим квадратный трёхчлен: $(x^2 - 7x + 12) = (x - 3)(x - 4)$. Тогда решение неравенства$(x - 3)(x - 4) > 0$ запишется так: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$. Учитываем также $\dfrac{(x - 3)^7}{x - 4} > 0$. Так как $(x - 3)^7$ имеет тот же знак, что и $(x - 3)$, то $\dfrac{(x - 3)^7}{x - 4} > 0 \Longleftrightarrow \dfrac{x - 3}{x - 4} > 0$, что даёт те же промежутки: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$. Итак, ограничения: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$. 2. Преобразуем неравенство. $7 \log_3 ( (x - 3)(x - 4) ) \leq 8 + \log_3 \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4}$. Рассмотрим два случая. Случай 1: $x > 4$. Тогда $x - 3 > 0$, $x - 4 > 0$, тогда логарифм в левой части можно представить в виде суммы логарифмов: $\log_3 ( (x - 3)(x - 4) ) = \log_3 (x - 3) + \log_3 (x - 4)$. Неравенство примет вид: $7( \log_3 (x - 3) + \log_3 (x - 4) ) \leq 8 + \log_3 (x - 3)^7 - \log_3 (x - 4)$. Так как $\log_3 (x - 3)^7 = 7 \log_3 (x - 3)$, получаем: $7\log_3 (x - 3) + 7\log_3 (x - 4) \leq 8 + 7\log_3 (x - 3) - \log_3 (x - 4)$. Сокращаем $7\log_3 (x - 3)$ слева и справа: $7\log_3 (x - 4) \leq 8 - \log_3 (x - 4)$. Переносим: $8\log_3 (x - 4) \leq 8$. $\log_3 (x - 4) \leq 1$. $\log_3 (x - 4) \leq \log_3 3$ Так как основание $3 > 1$, функция $y=\log_3x$ возрастает: $x - 4 \leq 3 \Longrightarrow x \leq 7$. С учётом $x > 4$ получаем: $4 0$. Используем модули: $\log_3 ( (x - 3)(x - 4) ) = \log_3 ( |x - 3| \cdot |x - 4| ) = \log_3 |x - 3| + \log_3 |x - 4|$. Анаогично $\log_3 \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4} = \log_3 \dfrac{|x - 3|^7}{|x - 4|} = 7\log_3 |x - 3| - \log_3 |x - 4|$. Подставляем в исходное неравенство: $7( \log_3 |x - 3| + \log_3 |x - 4| ) \leq 8 + 7\log_3 |x - 3| - \log_3 |x - 4|$. $7 \log_3 |x - 3| + 7\log_3 |x - 4| \leq 8 + 7\log_3 |x - 3| - \log_3 |x - 4|.$ Уничтожаем в обеих частях $7\log_3 |x - 3|$: $7\log_3 |x - 4| \leq 8 - \log_3 |x - 4|$. Отсюда: $8\log_3 |x - 4| \leq 8 \Longrightarrow \log_3 |x - 4| \leq 1$. Тогда: $|x - 4| \leq 3 \Longrightarrow -3 \leq x - 4 \leq 3 \Longrightarrow 1 \leq x \leq 7$. С учётом $x < 3$ получаем: $1 \leq x < 3$. 3. Объединяем оба случая: $x \in [1; 3) \cup (4; 7]$. Ответ:$\ [1; 3) \cup (4; 7]$

Решите неравенство $\dfrac{31 - 5 \cdot 2^x}{4^x - 24 \cdot 2^x + 128} \geq 0{,}25.$

Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда $4^x = (2^x)^2 = t^2$. Неравенство принимает вид: $\dfrac{31 - 5t}{t^2 - 24t + 128} \geq 0,25.$ Перенесём $0{,}25=\frac14$ в левую часть и приведём дроби к общему знаменателю: $\dfrac{31 - 5t}{t^2 - 24t + 128} - \dfrac{1}{4} \geq 0.$ $\dfrac{4(31 - 5t) - (t^2 - 24t + 128)}{4(t^2 - 24t + 128)} \geq 0.$ В числителе получим: $124 - 20t - t^2 + 24t - 128 = -t^2 + 4t - 4 = -(t^2 - 4t + 4) = -(t - 2)^2$. Тогда неравенство примет вид: $\dfrac{-(t - 2)^2}{4(t^2 - 24t + 128)} \geq 0.$ Знаменатель разложим на множители: $t^2 - 24t + 128 = (t - 8)(t - 16)$. Таким образом: $\dfrac{-(t - 2)^2}{4(t - 8)(t - 16)} \geq 0.$ $\dfrac{(t - 2)^2}{4(t - 8)(t - 16)} \leq 0.$ Отсюда: $t=2$ или $8 < t < 16$. Возвращаемся к переменной $x$: $t = 2^x$. Если $t = 2 \Longrightarrow 2^x = 2 \Longrightarrow x = 1$. Если $8 < t < 16 \Longrightarrow 8 < 2^x < 16 \Longrightarrow 2^3 < 2^x < 2^4 \Longrightarrow 3 < x < 4$. Объединяем: $\{1\} \cup (3; 4)$. Ответ: $\{1\} \cup (3; 4)$

Решите неравенство $\dfrac{2^x}{2^x - 8} + \dfrac{2^x + 8}{2^x - 4} + \dfrac{66}{4^x - 12 \cdot 2^x + 32} \leq 0.$

Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда $4^x = (2^x)^2 = t^2$. Неравенство примет вид: $\dfrac{t}{t - 8} + \dfrac{t + 8}{t - 4} + \dfrac{66}{t^2 - 12t + 32} \leq 0.$ Разложим знаменатель третьей дроби на множители: $t^2 - 12t + 32 = (t - 4)(t - 8)$. Тогда неравенство запишется так: $\dfrac{t}{t - 8} + \dfrac{t + 8}{t - 4} + \dfrac{66}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0.$ $\dfrac{t(t - 4) + (t + 8)(t - 8) + 66}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0.$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $t^2 - 4t + t^2 - 64 + 66 = 2t^2 - 4t + 2 = 2(t^2 - 2t + 1) = 2(t - 1)^2$. Получаем: $\dfrac{2(t - 1)^2}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0.$ Отсюда: $t=1$ или$4 < t < 8$. Объединяем с $t = 1$: $t = 1 \quad \text{или} \quad 4 < t < 8.$ Возвращаемся к переменной $x$: $t = 2^x$. Случай 1: $t = 1 \Longrightarrow 2^x = 1 \Longrightarrow x = 0$. Случай 2: $4 < t < 8 \Longrightarrow 4 < 2^x < 8 \Longrightarrow 2^2 < 2^x < 2^3 \Longrightarrow 2 < x < 3$. Объединяем: $x = 0 \quad \text{или} \quad 2 < x < 3.$ Значит, $\{0\} \cup (2; 3)$. Ответ: $\{0\} \cup (2; 3)$

Решите неравенство $\dfrac{52}{\left(3^{3-x^2}-1\right)^2} - \dfrac{28}{3^{3-x^2}-1} + 1 \geq 0.$

Ограничения: $3^{3-x^2}-1\ne 0$ $3^{3-x^2}\ne 1$ $3^{3-x^2}\ne 3^0$ $3-x^2\ne 0$ $x^2\ne 3$ $x\ne \sqrt 3$ и $x\ne -\sqrt3$ Сделаем замену $t = 3^{3-x^2} - 1$. Тогда неравенство принимает вид: $\dfrac{52}{t^2} - \dfrac{28}{t} + 1 \geq 0.$ Умножим обе части на $t^2 > 0$ (заметим, что $t \neq 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю): $52 - 28t + t^2 \geq 0.$ Перепишем: $t^2 - 28t + 52 \geq 0.$ Найдём корни квадратного уравнения $t^2 - 28t + 52 = 0$: $D = 28^2 - 4 \cdot 52 = 784 - 208 = 576 = 24^2.$ $t = \dfrac{28 \pm 24}{2}.$ Получаем: $t_1 = \dfrac{28 - 24}{2} = 2$, $t_2 = \dfrac{28 + 24}{2} = 26$. Таким образом, $(t - 2)(t - 26) \geq 0.$ Решаем методом интервалов: $t \leq 2$ или $t \geq 26$. Возвращаемся к переменной $x$: $t = 3^{3-x^2} - 1$. Если $t \leq 2$ : $3^{3-x^2} - 1 \leq 2 \\3^{3-x^2} \leq 3 \\ 3 - x^2 \leq 1\\ -x^2 \leq -2 \\ x^2 \geq 2\\ x \leq -\sqrt{2}$ или $x \geq \sqrt{2}$. Если $t \geq 26$: $3^{3-x^2} - 1 \geq 26 \\3^{3-x^2} \geq 27 \\ 3^{3-x^2} \geq 3^3 \\ 3 - x^2 \geq 3 \\ -x^2 \geq 0 \\ x^2 \leq 0 \\ x = 0$ Объединяем оба случая: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty) \cup \{0\}.$ С учётом ограничения: $\ (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; -\sqrt{2}] \cup \{0\} \cup [\sqrt{2}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$ Ответ: $\ (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; -\sqrt{2}] \cup \{0\} \cup [\sqrt{2}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 189 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 180412 балла
Смешанные неравенства
Решите неравенство
$\dfrac{2^{3x} - 9 \cdot 4^x + 3 \cdot 2^{x+3} - 16}{x - 2} \geq 0.$
id 180422 балла
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
$7 \log_3 \left( x^2 - 7x + 12 \right) \leq 8 + \log_3 \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4}.$
id 180432 балла
Показательные неравенства
Решите неравенство
$\dfrac{31 - 5 \cdot 2^x}{4^x - 24 \cdot 2^x + 128} \geq 0{,}25.$
id 180442 балла
Показательные неравенства
Решите неравенство
$\dfrac{2^x}{2^x - 8} + \dfrac{2^x + 8}{2^x - 4} + \dfrac{66}{4^x - 12 \cdot 2^x + 32} \leq 0.$
id 180452 балла
Показательные неравенства
Решите неравенство
$\dfrac{52}{\left(3^{3-x^2}-1\right)^2} - \dfrac{28}{3^{3-x^2}-1} + 1 \geq 0.$