Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ точка $K$ – середина ребра $A_1B_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$, $K$ и $C$.

a) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны $6$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 3MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все ребра призмы равны $12$.

Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через ребро $AB$ и пересекает ребра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB = AN = BM = 3MN$.
a) Докажите, что $SM : MC = SN : ND = 1 : 2$.
б) Найдите косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды.

В правильной треугольной призме $ABC_1A_1B_1C_1$ все ребра равны $4$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$.
a) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 3MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $\alpha$, если все ребра призмы равны $16$.